2026-2027 学年沪教版（五四制）八年级上学期期中数学练习卷（一）

2026-2027 学年沪教版八年级上学期期中练习卷（一） 数 学 （本卷共 28 题，满分 100 分，建议用时 90 分钟） 一、选择题 1．下列实数 、、、 中，无理数的个数是（　　） A．2个　　B．3个 C．4个　　D．5个 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A．；　　B．； C．；　　D． 3． 的有理化因式可以是（　　） A．　　B． C．　　D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．；　　B．； C．；　　D．． 5．下列说法不正确的是（　　） A． 的平方根是 　　B． 的算术平方根是 C． 是 的一个平方根　　D． 6．已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时，方程无实数根 B．当 时，方程有一个实数根 C．当 时，方程有两个相等的实数根 D．当 时，方程总有两个不相等的实数根 二、填空题 7． 的平方根是 ． 8．要使式子 有意义，则 的取值范围为 ． 9．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）． 10．已知 ，，那么 ． 11．若 是 的小数部分，则 ． 12．实数 、 在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 第12题图 13．不等式 的解集是 ． 14．关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ． 15．已知 ，则 的值为 ． 16．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 阿秒，将 阿秒用科学记数法表示为 秒． 17．已知 ，则 的值为 ． 18．如果 ，并且 表示当 时的值，即 ，，那么 的值是 ． 三、解答题 19．计算：； 20．解方程：； 21．解方程：； 22．解方程：； 23．用配方法解方程：． 24．化简：（，）； 四、解答题 25．【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的正方形的面积为 ，小正方形的对角线长为 ； ②如图2，把图1中其中一个正方形放置到数轴上，以 为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点 、，则点 、 表示的数分别为 ， ． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为 、宽为 的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为 ； ②请在下图的数轴中画出表示 的点（保留作图痕迹）． 26．已知关于 的方程 ． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）在（1）中，若 为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 27．已知关于 的一元二次方程 ． 求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 28．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程 是“倍根方程”，则 ． （3）若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”， 则 、、 之间的关系为 ． （4）若 是“倍根方程”，求代数式 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年沪教版八年级上学期期中练习卷（一） 数 学（解析版） 一、选择题 1．下列实数 、、、 中，无理数的个数是（　　） A．2个　　B．3个 C．4个　　D．5个 【答案】A 【解析】 是分数，，二者都是有理数； 中 的个数依次增加，是无限不循环小数； 也是无限不循环小数． 所以无理数共有 个，选 A． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A．；　　B．； C．；　　D． 【答案】D 【解析】A 中 ；B 中被开方数含分母 ；C 中 ，都能继续化简； D 中 在实数范围内不能再分解出完全平方因式，是最简二次根式．故选 D． 3． 的有理化因式可以是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】，结果为有理数； 而 ，，，都不是有理数．故选 D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．；　　B．； C．；　　D．． 【答案】C 【解析】A 整理得 ，是一元一次方程；B 的分母含未知数，是分式方程；D 中含有 ，不是整式方程； C 中 符合 的形式，是一元二次方程．故选 C． 5．下列说法不正确的是（　　） A． 的平方根是 　　B． 的算术平方根是 C． 是 的一个平方根　　D． 【答案】B 【解析】A： 的平方根是 ，正确；C： 的平方根是 ， 是其中一个，正确；D：，正确； B： 的算术平方根是 ，不是 ，错误．故选 B． 6．已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时，方程无实数根 B．当 时，方程有一个实数根 C．当 时，方程有两个相等的实数根 D．当 时，方程总有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 时方程化为 ，有实数根，A 错； 时方程为 ，有两个实数根，B 错； 时 ，当 时 ，D 错； 时方程为 ，即 ，有两个相等的实数根，C 正确． 二、填空题 7． 的平方根是 ． 【答案】 【解析】， 的平方根是 ． 注意本题问的是“平方根”，不是“算术平方根”． 8．要使式子 有意义，则 的取值范围为 ． 【答案】 且 【解析】被开方数非负：；分母不为零：． 所以 且 ． 9．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】，． 因为 ，所以 ，即 ． 10．已知 ，，那么 ． 【答案】0.1703 【解析】． 11．若 是 的小数部分，则 ． 【答案】2 【解析】因为 ，所以 的整数部分是 ，小数部分 ． ． 12．实数 、 在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 第12题图 【答案】 【解析】由数轴可知 ，所以 ，，． 原式 ． 13．不等式 的解集是 ． 【答案】 【解析】移项得 ． 因为 ，不等号方向改变：． 所以解集是 ． 14．关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ． 【答案】 且 【解析】方程整理为 ，有两个不相等的实数根，需 且 ． 即 ，解得 ；又 ，所以 且 ． 15．已知 ，则 的值为 ． 【答案】 或 【解析】由二次根式有意义得 且 ，即 且 ，所以 ． 代入得 ，即 ，． 当 时，；当 时，． 16．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 阿秒，将 阿秒用科学记数法表示为 秒． 【答案】 【解析】 阿秒 秒 秒． 17．已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【解析】， ． ． 18．如果 ，并且 表示当 时的值，即 ，，那么 的值是 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以每一组 的值都是 ，这样的组共有 组， 原式 ． 三、解答题 19．计算：； 【答案】 【解析】原式 ． 20．解方程：； 【答案】， 【解析】两边同乘 ：， ，所以 ，． 21．解方程：； 【答案】， 【解析】因为 ，原方程可化为 ． 提公因式：，即 ． 所以 ，． 22．解方程：； 【答案】 【解析】去分母得 ，整理得 ． ， 所以 ． 23．用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】两边同除以 ：， 配方：，即 ． ，所以 ，． 24．化简：（，）； 【答案】 【解析】原式 ． 括号内通分：． 除式：． 所以原式 ． 四、解答题 25．【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的正方形的面积为 ，小正方形的对角线长为 ； ②如图2，把图1中其中一个正方形放置到数轴上，以 为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点 、，则点 、 表示的数分别为 ， ． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为 、宽为 的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为 ； ②请在下图的数轴中画出表示 的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）① ，；② ，；（2）① ；② 见解析 【解析】（1）① 两个小正方形的面积和为 ，拼成的大正方形面积不变，仍为 ； 小正方形的对角线长为 ． ② 半圆的圆心是表示 的点，半径是 ，所以 、 到该点的距离都是 ， 点 表示 ，点 表示 ． （2）① 长方形的面积为 ，剪拼后面积不变，大正方形的边长为 ． ② 作法：在数轴上取表示 的点 ，过 作数轴的垂线，在上方截取 ；取表示 的点 ，连接 ，则 ； 以 为圆心、 长为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，则点 表示的数为 ． 26．已知关于 的方程 ． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）在（1）中，若 为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，，解得 ． （2）符合条件的最大整数是 ，此时方程为 ，即 ． ． 27．已知关于 的一元二次方程 ． 求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【答案】 恒成立，故方程总有两个不相等的实数根 【解析】． 因为 ，所以 ，即 对任意实数 都成立． 所以无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 28．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程 是“倍根方程”，则 ． （3）若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”， 则 、、 之间的关系为 ． （4）若 是“倍根方程”，求代数式 的值． 【答案】（1）不是；（2）；（3）；（4） 【解析】（1），两根为 ，，不存在一个根是另一个根的 倍，所以“不是”． （2）设两根为 、，则 ，得 ，两根为 、，所以 ． （3）设两根为 、，则 ，，消去 得 ． （4）由 得 ，． 因为方程是“倍根方程”，所以 或 ，即 或 ． ，当 时原式 ；当 时原式 ． 所以代数式 的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $