2.2 分式方程2027年中考数学一轮复习考点精讲练九年级
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内容正文：
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
【基础回顾】
知识点1. 分式方程的解法
1.分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
知识点2. 分式方程的应用
1.工程问题等量关系： 工作量=工作时间×工作效率。灵活掌握它的两个变式。
2.解决工程问题的基本思路
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系．如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题等量关系： 路程=速度×时间 .灵活掌握它的两个变式。
4.解决问题注意事项：
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
5.利润问题等量关系： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
6.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
7.浓度问题的基本关系是：=浓度．
8. 顺水逆水问题： v顺＝v静＋v水流 ， v逆＝v静－v水流.
注意：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面：是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
（6）写答案.
【易错点提示】
解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：
1. 忘记验根。
2. 检验方法不正确。
3.忽视分子为零。
4.考虑问题不全面。
5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。
6.去分母时漏乘不含分母的项。
7.解分式方程错符号。
【考点精讲精练】
考点1. 分式方程的解法
【例题精讲】
【例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【例2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________．
【例3】（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）解分式方程
【基础巩固练】
【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·福建厦门·三模）解方程的步骤如下：
方程左右两边同乘，①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
经检验，原分式方程无解．
以上解方程的过程中，错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式3】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：形如（其中为常数）的分式方程，我们称之为关于的“调序方程”．
(1)当时，解该“调序方程”；
(2)是否存在具有两个相等实根的“调序方程”？若存在，则求出此时对应的值；若不存在，则说明理由；
(3)若，是“调序方程”的两个实数根，且两根均为正数，则求的取值范围．
【能力提升练】
【提升1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【提升2】（2026·上海青浦·二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ）
A． B． C． D．
【提升3】（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【提升4】（2026·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 分式方程的应用
【例题精讲】
【例1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图像可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______．
【例3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元．
(1)莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元；
(2)若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？
(3)若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？
【基础巩固练】
【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（ ）
A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元）
B．实际参加游览的同学人数（单位：个）
C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元）
D．原来参加游览的同学人数（单位：个）
【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题，其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可列方程为_______
【变式3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某校组织学生去外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求公共汽车的速度．
【能力提升练】
【提升1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【提升2】（2026·广东深圳·三模）2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【提升3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）博雅中学将举行秋季校运动会活动，准备从商场一次性购买若干枚银牌和金牌．每枚银牌的价格都相同，每枚金牌的价格也相同．已知金牌的单价比银牌单价的倍少元，用元购买银牌的数量和用元购买金牌数量相同．
(1)银牌和金牌的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买银牌和金牌共枚，但要求金牌的数量不少于银牌数量的，求购买多少枚金牌时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用．
【提升4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等．
(1)求A、B两种型号机械手的单价分别是多少万元？
(2)快递公司计划购买A、B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍，如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
【真题回顾】
1．（2026·山东青岛·中考真题）张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·山东东营·中考真题）津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·吉林·中考真题）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·江西·中考真题）我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工个零件，可列分式方程为__________________．
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第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
【基础回顾】
知识点1. 分式方程的解法
1.分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
知识点2. 分式方程的应用
1.工程问题等量关系： 工作量=工作时间×工作效率。灵活掌握它的两个变式。
2.解决工程问题的基本思路
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系．如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题等量关系： 路程=速度×时间 .灵活掌握它的两个变式。
4.解决问题注意事项：
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
5.利润问题等量关系： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
6.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
7.浓度问题的基本关系是：=浓度．
8. 顺水逆水问题： v顺＝v静＋v水流 ， v逆＝v静－v水流.
注意：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面：是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
（6）写答案.
【易错点提示】
解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：
1. 忘记验根。
2. 检验方法不正确。
3.忽视分子为零。
4.考虑问题不全面。
5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。
6.去分母时漏乘不含分母的项。
7.解分式方程错符号。
【考点精讲精练】
考点1. 分式方程的解法
【例题精讲】
【例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得．
检验：当时，，故是原方程的解．
【例2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________．
【答案】
【分析】先确定分式方程的最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，再整理为一元二次方程的一般形式即可．
【详解】解：原方程为，
方程两边同乘最简公分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得．
【例3】（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）解分式方程
【答案】
【分析】方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求解后验根即可求解．
【详解】解：原方程为．
方程两边同乘，得．
．
．
．
当时，．
因此是原分式方程的解．
【基础巩固练】
【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：方程两边同乘，
得，
，
，
，
，
检验：当时，，
即是原方程的解．
【变式2】（2026·福建厦门·三模）解方程的步骤如下：
方程左右两边同乘，①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
经检验，原分式方程无解．
以上解方程的过程中，错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤去分母解法，需要验证每一步计算是否正确，找出错误步骤．
【详解】解：原方程为，
∴公分母为，
当方程两边同乘时，左边，右边为 ，
去分母后正确结果应为 ，
而题干步骤①的变形结果为，与正确结果不符，故步骤①出错，
出错步骤是①．
【变式3】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：形如（其中为常数）的分式方程，我们称之为关于的“调序方程”．
(1)当时，解该“调序方程”；
(2)是否存在具有两个相等实根的“调序方程”？若存在，则求出此时对应的值；若不存在，则说明理由；
(3)若，是“调序方程”的两个实数根，且两根均为正数，则求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)解：不存在，
理由：原“调序方程”在的条件下，两边同乘得，
整理得，
其根的判别式，
，
，
该整式方程总有两个不相等的实数根，
若原分式方程有两个相等实根，则对应整式方程需有两个相等的实数根，与上述结论矛盾，故不存在具有两个相等实根的“调序方程”；
(3)且
【分析】（1）当时，原方程为，去分母并整理得，最后利用公式法解一元二次方程即可；
（2）原“调序方程”在的条件下，两边同乘得，整理得，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可得出结果；
（3）原“调序方程”在的条件下，两边同乘得，整理得，再利用一元二次方程根与系数的关系并结合题意可得，，最后求出增根时的值即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
去分母得，
整理得，
∵，
∴，
∴，，
经检验，都为原方程的根，
∴原分式方程的根为，；
（2）略；
（3）解：原“调序方程”在的条件下，两边同乘得，
整理得，
∵，是“调序方程”的两个实数根，且两根均为正数，
∴，，
∴，
因是方程的增根，则当时，，
解得，
∴，
综上所述，的取值范围为且．
【能力提升练】
【提升1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论即可．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理得，
当，即时，，整式方程无解，原分式方程无解；
当时，，
令，得增根，
将代入，得，
两边同乘，得，
展开得，
移项得，
经检验：是方程的解，
综上，的值为或．
【提升2】（2026·上海青浦·二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将分式方程两边同乘最简公分母去掉分母，再整理得到标准整式方程即可．
【详解】∵原方程为，且，
方程两边同乘最简公分母，得：，
移项整理得：．
【提升3】（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程．
【详解】解：，
，
将其代入原分式方程可得，
方程两边同乘（），得，
整理得：．
【提升4】（2026·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
考点2. 分式方程的应用
【例题精讲】
【例1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图像可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为，根据快递车的速度不变列方程求解即可．
【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为，根据题意得：
，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
所以，快递车在每个快递点卸包裹的时间为．
【点睛】分式方程一定要检验．
【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______．
【答案】
【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可
【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为，
实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为，
实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成，
即原来用时比实际用时多天，
因此可列方程：
【例3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元．
(1)莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元；
(2)若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？
(3)若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？
【答案】(1)，
(2)元或元
(3)元
【分析】（1）设莲蓉进价为元，则豆沙进价为元，由两种月饼“花费不同但盒数相同”列分式方程求解；
（2）先由“售价每提高元每天少售盒”写出日销量关于的表达式，再按“单盒利润×日销量=日利润”列方程求；
（3）日利润是关于的二次函数，利用对称轴与区间的相对位置判断单调性，在离对称轴最近的端点取最大值．
【详解】（1）解：设莲蓉月饼每盒进价为元，则豆沙月饼每盒进价为元．
用元购进的莲蓉月饼与用元购进的豆沙月饼盒数相同，
．
解得．
检验：时，且符合题意．
元
莲蓉月饼每盒进价为元，豆沙月饼每盒进价为元．
（2）解：由题知，莲蓉月饼售价为元/盒时，每天可售盒，单盒利润为元．
商家每天要获得元的利润，
．
展开并整理得，
即，两边同除以得．
，
解得，即，．
检验：当时，日销量；当时，日销量，均符合题意．
莲蓉月饼每盒售价应定为元或元．
（3）解：设每天获得的利润为元，则
．
这是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为．
，该区间在对称轴的右侧，
在此区间内随的增大而减小，
当时，取得最大值，
．
商家每天获得的最大利润为元．
【基础巩固练】
【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（ ）
A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元）
B．实际参加游览的同学人数（单位：个）
C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元）
D．原来参加游览的同学人数（单位：个）
【答案】C
【分析】根据方程中常数项6的实际意义，判断分式表示的量，推导x的含义．
【详解】解：方程中常数6为人数，故与均表示人数，
由总费用与每人分摊费用、人数的关系，可知x和表示每人分摊的车费，
∵实际每名同学比原来多分摊10元，
∴为实际每人分摊的车费，x为原来每人分摊的车费．
【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题，其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可列方程为_______
【答案】
【详解】解：设绫布有x尺，
根据题意可列方程为．
【变式3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某校组织学生去外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求公共汽车的速度．
【答案】公共汽车的速度为
【分析】设自行车速度为，则公共汽车的速度是，根据两者的时间差为半小时列方程，解方程并检验即可求出答案．
【详解】解：设自行车速度为，则公共汽车的速度是，
由题意可得，，
解得
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
即公共汽车的速度为．
【能力提升练】
【提升1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据A机器人的行走速度，表示出B机器人的行走速度，再根据B机器人行走与A机器人行走的时间，用“时间路程速度”即可列出方程．
【详解】解：∵A机器人每小时行走，B机器人每小时比A多走，
∴B机器人每小时行走，
∵B机器人行走的时间与A机器人行走的时间相等，
∴．
【提升2】（2026·广东深圳·三模）2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程．
【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天，
实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天，
∵实际提前2天完成，
∴．
【提升3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）博雅中学将举行秋季校运动会活动，准备从商场一次性购买若干枚银牌和金牌．每枚银牌的价格都相同，每枚金牌的价格也相同．已知金牌的单价比银牌单价的倍少元，用元购买银牌的数量和用元购买金牌数量相同．
(1)银牌和金牌的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买银牌和金牌共枚，但要求金牌的数量不少于银牌数量的，求购买多少枚金牌时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用．
【答案】(1)银牌单价为元，金牌单价为元
(2)购买枚金牌时总购买费用最小，最小总费用为元
【分析】（1）以两种奖牌购买数量相等为等量关系列分式方程，求解单价；
（2）先根据奖牌数量的约束条件确定金牌数量的取值范围，再结合总费用的变化规律求最小值．
【详解】（1）解：设银牌的价格为，则金牌的价格为元，
根据题意可得，，即，
解得，
当时，，
则是原分式方程的解，
此时，
故银牌的价格为元，金牌的价格为元．
（2）解：设购买枚金牌，总费用为，则购买银牌枚，
根据题意可得，，
解得，
购买银牌和金牌共枚，
则，
总费用为，
，随的增加而增加，
则当时，取得最小值，
最小的购买总费用为元，
故购买枚金牌时总购买费用最小，最小总费用为元．
【提升4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等．
(1)求A、B两种型号机械手的单价分别是多少万元？
(2)快递公司计划购买A、B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍，如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
【答案】(1)A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元
(2)购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元
【分析】（1）设A型机械手的单价为x万元，B型机械手的单价为万元，根据题意列出分式方程求解；
（2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元，先列不等式组求解的取值范围，然后建立w关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A型机械手的单价为x万元，B型机械手的单价为万元，
由题意得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
B型机械手的单价：（万元）
答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元；
（2）解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元，
由题意得，
解得：
由题意得：
∵，
∴w随m的增大而增大，且m取正整数，
∴当时，w的最小值为
此时B型机械手：（台）
答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元．
【真题回顾】
1．（2026·山东青岛·中考真题）张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设哲学书单价为元，则史学书单价为元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可．
【详解】解：哲学书单价为元，则史学书单价为元．哲学书的购买数量为本，史学书的购买数量为本．
∵史学书比哲学书少2本，
∴．
2．（2026·山东东营·中考真题）津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可．
【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为
由题意，可列方程为．
3．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程．
【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少，
∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为．
∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同，
∴可列方程：．
4．（2026·吉林·中考真题）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据两数和为10，用表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可得到结果．
【详解】解：∵设第一个数为，两数和为，
∴第二个数为，
∴可列方程．
5．（2026·江西·中考真题）我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工个零件，可列分式方程为__________________．
【答案】
【分析】设B每小时加工个零件，则A每小时加工个零件，根据“A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设B每小时加工个零件，则A每小时加工个零件，依题意得，．
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