1.3 分式 2027年中考数学一轮复习考点精讲练

第一章 数与式 1.3 分式 【基础回顾】 考点1 分式的概念和性质 1．分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0． 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． 考点2 分式的运算 1．约分及约分法则 （1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 2．最简分式 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3．通分及通分法则 （1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则 把两个或者几个分式通分： ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分． 【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 5．分式的运算 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 【易错点提示】 1.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 2．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 考点3 分式的化简求值 将给出的分式通过通分约分，然后进行加减乘除运算化为最简的代数式，再将已知条件代入最简式子计算求值。 1．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 2．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【考点精讲精练】 考点1. 分式的概念和性质 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）下列式子中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母均为常数，不是分式，的分母含字母，是分式． 【例2】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】已知的取值，可将所求分式拆分为含的形式，通过整体代入计算结果． 【详解】解：将所求分式拆分可得， ∵， ∴将其代入上式得． 【例3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，则的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将待求分式变形为含的形式，结合已知比例求出的值后整体代入计算． 【详解】解：∵． ∴，即． ∵． ∴． 【变式2】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知，那么____________． 【答案】 【分析】先拆分目标分式，再将已知比值整体代入求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分式的值为， 且， ． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）已知（），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例关系，将和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 【提升2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【答案】 【分析】由已知连等式转化为方程组，通过整体相加的方法提取公因式，然后分情况讨论和的两种情况，并结合题目中“互不相等的实数”这一限制条件进行检验． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 相加得， ， ， 移项得， 此时分两种情况讨论： 情况一：若，则必须有，解得， 将代入原式，得，即； ，即， 两式相减得：，即， ∴， 这与题目已知条件“互不相等的实数”矛盾， ∴不成立，舍去； 情况二：若，则，，， 代入原连等式，得， 满足互不相等且分母不为0的条件，成立． 综上所述，的值为． 【提升3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则______． 【答案】6或 【分析】根据分母和是否为0分类讨论，根据等比性质推导第一种情况：若，且，则；然后讨论分母和为0时的情况，两种情况综合得出结论． 【详解】解：由等比性质可得：，此时； 当时，可得， 则； 综上所述，m的值为6或． 【提升4】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 考点2. 分式的运算 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 【例2】（2026九年级·四川·专题练习）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 【例3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴取，原式． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 【变式2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）若，则的值是_________． 【答案】 【分析】已知，有意义说明，对等式移项变形即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 是分式，有意义， ∴ ， 等式两边同时除以，可得 ， 化简后得 ． 【变式3】（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）先化简，再计算：，其中满足． 【答案】 化简结果为，值为 【分析】先对括号内分式通分化简，将除法转化为乘法，分解因式后约分得到最简结果，解方程得到的值，根据分式有意义的条件舍去不符合条件的值，代入计算即可. 【详解】解： 由，因式分解得 解得或 ∵，， ∴ ，， ∴ 将代入得，原式 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误． 选项B，与不一定相等，运算错误． 选项C，，运算错误． 选项D，，运算正确． 【提升2】（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知，那么________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【提升3】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】先通分计算括号内的减法，把除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式，再利用特殊角三角函数值算出，最后代入求值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【提升4】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知，求下列分式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得，代入计算即可； （2）根据，得，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 考点3. 分式的化简求值 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴取，原式． 【例2】（26-27九年级上·辽宁抚顺·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算分式的乘法运算得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，代入原式． 【例3】（25-26九年级下·湖南郴州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先对括号内的分式通分运算，将除法转化为乘法后通过因式分解约分化简为最简分式，再代入计算求值． 【详解】解： 原式 ， 当时， 原式． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）先化简，再求值：，其中是不等式的整数解． 【答案】， 【详解】解：原式 ． ∵，，即，，且是不等式的整数解， ∴， ∴原式． 【变式2】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）化简并求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【分析】先化简，再利用一元二次方程根的定义得到，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴，即， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式运算法则先化简，再代入已知条件中的值计算，即可求解． 【详解】解： ，     当时，原式． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）化简求值：，其中． 【答案】，1 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【提升2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】 【详解】解： 是方程的解， ， 则原式． 【提升3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）化简求值：，其中是方程的解． 【答案】 ； 【分析】先将分式化简为最简形式，再求解一元二次方程，结合分式有意义的条件选取符合要求的值，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ； 方程左边因式分解，得 ， ∴或， 或， 分式分母不为0， ，，， ，，， ， 当时，原式． 【提升4】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意可得，整体代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【真题回顾】 1．（2026·山东济南·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为两个分式分母相同，所以直接根据同分母分式减法法则，将分子相减、分母保持不变．对合并后的分子进行因式分解，用完全平方公式处理分子的多项式．因为分子分母存在公因式，所以约分化为最简分式． 【详解】解：． 2．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 3．（2026·四川德阳·中考真题）解答下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 4．（2026·西藏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先对分母因式分解，约分后合并化简分式，再代入计算求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，可得： 原式 ． 5．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 6．（2026·广东广州·中考真题）已知． (1)化简T； (2)若有意义，请选择一个合适的整数作为m的值，求T的值． 【答案】(1) (2)选取，的值为（答案不唯一） 【详解】（1）解： ； （2）解：∵有意义， ∴， 解得， ∵且， ∴且，， 综上所述，，且， 选取，． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 1.3 分式 【基础回顾】 考点1 分式的概念和性质 1．分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0． 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． 考点2 分式的运算 1．约分及约分法则 （1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 2．最简分式 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3．通分及通分法则 （1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则 把两个或者几个分式通分： ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分． 【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 5．分式的运算 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 【易错点提示】 1.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 2．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 考点3 分式的化简求值 将给出的分式通过通分约分，然后进行加减乘除运算化为最简的代数式，再将已知条件代入最简式子计算求值。 1．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 2．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【考点精讲精练】 考点1. 分式的概念和性质 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）下列式子中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）已知，则________． 【例3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，则的值是（     ） A． B． C．3 D． 【变式2】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知，那么____________． 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）已知（），则的值为（     ） A． B． C． D． 【提升2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【提升3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则______． 【提升4】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 考点2. 分式的运算 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 【例2】（2026九年级·四川·专题练习）计算：________． 【例3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）若，则的值是_________． 【变式3】（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）先化简，再计算：，其中满足． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【提升2】（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知，那么________． 【提升3】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． 【提升4】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知，求下列分式的值． (1)； (2)． 考点3. 分式的化简求值 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【例2】（26-27九年级上·辽宁抚顺·期中）先化简，再求值：，其中． 【例3】（25-26九年级下·湖南郴州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）先化简，再求值：，其中是不等式的整数解． 【变式2】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）化简并求值：，其中是方程的根． 【变式3】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）化简求值：，其中． 【提升2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【提升3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）化简求值：，其中是方程的解． 【提升4】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 【真题回顾】 1．（2026·山东济南·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·中考真题）解答下列各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 4．（2026·西藏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 5．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2026·广东广州·中考真题）已知． (1)化简T； (2)若有意义，请选择一个合适的整数作为m的值，求T的值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $