4.2 指数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.2 指数函数 知识归纳与题型总结 考点01 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 考向01 指数函数的判定与求值 【例1】若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 考向02 根据函数是指数函数求参数 【例2】若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 考向03 求指数函数解析式 【例3】已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 【对点1】“函数为增函数”是“函数为指数函数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】为指数函数，故，此时函数为增函数，必要性成立； 若为增函数，只需，不妨设，此时不为指数函数，充分性不成立， 故“函数为增函数”是“函数为指数函数”的必要不充分条件. 【对点2】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先由恒成立将问题转化为求参数范围，当时自动满足，当时分离参数得，由基本不等式求出其最小值为2，即得. 【详解】不等式对任意恒成立，即恒成立， 当时，， 因为，所以，即恒成立，无需对附加条件， 当时，，要使对任意恒成立，即， 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等号，所以在上的最小值为， 要使恒成立，只需 综上，实数的取值范围为. 【对点3】已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 【分析】根据抽象函数的解析式判断即可. 【详解】当时，，，符合条件． 故答案为（答案不唯一）． 考点02 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 考向01 判断指数型函数的图象形状 【例1】函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值代入排除A、D，再分析函数在 时函数值的变化趋势，即可确定函数图象. 【详解】令 ， 则，根据选项图象可排除 A、D； 当 时，因， ，但指数函数 的增长速度远快于幂函数 ， 则 ，由图知显然 B项不满足，C项符合. 考向02 根据指数型函数图象判断参数的范围 【例2】若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 考向03 指数型函数图象过定点问题 【例3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【答案】BC 【详解】对于A选项，不妨取，则，A错； 对于B选项，因为， 且函数为上的减函数，故， 所以函数的值域为，B对； 对于C选项，对于函数（且），令可得， 故函数的图象过定点，C对； 对于D选项，函数过点，但函数不过点， 所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错. 考向04 指数函数图象应用 【例4】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出指数函数和一次函数的大致图象，再根据不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围，进而数形结合即可得到答案． 【详解】由是上单调递增的指数函数，且，， 又是上单调递增的一次函数，且，， 所以与的大致图象如下： 则不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围， 数形结合，不等式的解集为． 考向05 求指数（型）函数的定义域 【例5】若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 【答案】 1 【分析】根据求解并检验；根据求解并检验即可. 【详解】为偶函数时，，即，解得. 此时，，定义域为，满足，满足题意； 为奇函数时，，即，解得， 此时，，定义域为，满足，满足题意； 综上，若为偶函数，则，若为奇函数，则 考向06 求指数函数在区间内的值域 【例6】已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 【答案】 / 【分析】对第一个空，求解分段函数的最小值，需分别分析每一段的单调性与最值： 时利用指数函数的单调性求最小值，时通过二次函数的顶点公式求最小值，再比较两段最小值得到整体最小值；对第二个空已知最小值求参数时，先根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论，确定两段函数的最小值，再令整体最小值等于列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的前提条件. 【详解】当时，， 当时，单调递增，因此单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数， 对称轴为（在区间内），最小值为， 比较两段最小值和，得的最小值为； 当时，单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， 分情况讨论： 若，则对称轴，时单调递减， ，，，所以时无最小值； 令，方程无解，该情况不成立； 若，则对称轴，时二次函数的最小值为 此时段的最小值为， 由题意最小值为，结合，应有， 解方程，得（舍去）或， 当时，，的最小值为，，的最小值为， 所以的最小值为，符合题意， 综上， 考向07 判断指数函数的单调性 【例7】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 考向08 比较指数幂的大小 【例8】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则，即； 由在上递增，则，即. 所以. 考向09 求已知指数型函数的最值 【例9】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 考向10 含参指数函数的最值 【例10】已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 考向11 指数函数最值与不等式的综合问题 【例11】若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 【对点1】（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 【对点2】设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 【答案】 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于1，，小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以. 【对点3】（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数的定义域为，则函数的定义域是 D．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A，根据命题的否定判断；对于B，根据函数的定点判断；对于C，根据抽象函数的定义域求法判断；对于D，对含参二次函数参数时分析判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故错误； 对于B，令，，故正确； 对于C，若函数的定义域为，则，所以， 所以函数的定义域是. 对于D，当时，不等式变为，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，故D错误. 【对点4】为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 【答案】D 【详解】对于A，把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位，得到，故A错误； 对于B，把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位，得到，故B错误； 对于C，把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，故C错误； 对于D，把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变，得到，故D正确． 【对点5】已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【答案】/0.5 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. 【对点6】已知函数，则的值域为_______． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以的值域为. 故答案为：. 【对点7】下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，满足是奇函数，也是减函数，故A正确. 对于B，是定义域上的增函数，故B错误. 对于C，是定义域上的增函数，故C错误. 对于D，，，所以不是奇函数，故D错误. 【对点8】（多选）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A.直接利用不等式乘除负数的变号规则判断；B.两式作差，通过分析差的正负判断大小；C.利用基本不等式快速判断范围，注意取等条件；D.找反例，得到不成立. 【详解】选项 A，因为 ，且 ，两边同乘 后不等号变向，因此 ， 故A成立； 选项 B，，分子：，，故 ；分母：，， 故 ，因此 ，因此 ，即 ，与选项表述相反， 故B不成立； 选项 C， ，由基本不等式， 又因为 ，故 ，等号无法取到，因此 ， 故C成立； 选项 D，取 时，，，此时 ，不等式不成立，故D不成立. 【对点9】函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令，则，利用函数的单调性即可. 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 【对点10】已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 【对点11】不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，则，则， 则，当且仅当，即时，取等号， 所以，即实数的取值范围是． 一、单选题 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由可得， 因为均为递增函数，所以也为递增函数， 所以，即， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为 2．已知，则使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：已知，由基本不等式得， 故，无法推出，排除A； 对于B：已知，由基本不等式得， 可推出，符合要求； 对于C：已知，由基本不等式得， 即，由指数函数单调性得，解得， 无法推出，排除C； 对于D：已知，两边同除以得， 则， 取，满足，但，无法推出，排除D. 3．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即， 所以. 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项正误. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在R上单调递减，且，所以，即，所以. 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对底数相同的代数式，利用指数函数单调性进行比较，得到，；再对指数相同的代数式，利用幂函数单调性比较与，得到，最后整合不等式，排出大小即可. 【详解】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 6．若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设条件判断是上的严格减函数，再根据分段函数为减函数的要求，列不等式求解的取值范围. 【详解】已知函数， 对任意，，说明是上的严格减函数，需同时满足以下三点： ①当时，一次函数单调递减，因此一次项系数小于，即，解得； ②当时，指数函数单调递减，因此底数满足，解得； ③在分段点处，左段函数在趋近于左侧处的取值不小于右段函数在处的取值， 由于在趋近于左侧时，，所以， 化简得，移项整理得，解得； 将三个解集取交集，得实数的取值范围为，故A正确. 7．是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析函数的单调性，结合指数的运算性质将不等式转化为，再根据函数的奇偶性及单调性转化为，再结合题意，按绝对值的性质分析的取值范围，从而求得实数b的最大值. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，单调递增， 所以当时，单调递减. 对任意的，， 所以由，得， 因为， 所以， 当时，恒成立； 当时，， 所以或， 因为（不成立，舍去），所以. 当时，， 对，，， ，所以恒成立. 故实数b的最大值是. 二、多选题 8．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】由题意可得：函数的定义域为， 对于选项A：因为，， 即，函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 对于选项C：函数在上单调递增， 则函数在上是增函数，故C正确； 对于选项D：因为，则，可得， 即，所以的值域为，故D正确. 9．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的基本性质及指数函数的单调性分别判断即可． 【详解】，， ，即， ∵，∴， ∵，（因为，所以），故A正确； ， ，故B正确； ， ∴，即，故C正确； ，若，则， 由知，，，故，矛盾， 故D错误. 10．（多选）已知定义在上不为常函数的函数满足对任意的，，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 【答案】AC 【分析】对于A选项利用赋值法，分别令且和，计算出；对于B选项取，计算出和即可；对于C选项，令且；对于D选项，借助C选项的结论分析出，，结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A选项， 令且，则，解得或， 当时，， 将代入，可得 ， 与函数不为常函数，相矛盾，故舍去，所以，故A正确； 对于B选项，取，则，， 则，故B错误； 对于C选项，令且， 则，，故C正确； 对于D选项，令且，则， 若，则与函数不为常函数，相矛盾，故舍去，所以， 又由C选项得，所以， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立， 则，故D错误. 三、填空题 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 【答案】 【分析】通过换元将指数型函数转化为二次函数，求得的值域后结合高斯函数的定义确定目标函数的值域. 【详解】令，由，得，代入可得. 该二次函数开口向上，对称轴为， 且在对称轴处取得最小值； 区间端点处，. 结合函数单调性时函数单调递减，时函数单调递增，因此的完整取值范围是. 根据高斯函数“取不超过的最大整数”的规则： 当时，； 当时，； 当时，. 因此的所有可能取值为，0，1，故值域为. 12．已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性与非负区间上的单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】化简函数可得，显然是定义域为的偶函数， 当时，，由指数函数性质可知在上单调递增； 由偶函数性质，等价于，结合在上的单调性，可得， 对不等式两边平方，得，展开右侧得，移项化简得，解得， 故实数的取值范围是. 13．若，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】利用均值不等式，结合指数运算进行求解即可 【详解】已知，由于，，因此有， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为 14．已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 【答案】 【分析】由，得到，根据题意，结合，即可求解. 【详解】由，可得， 因为函数为奇函数，且当时，， 可得， 即当时，. 15．设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】令，转化为讨论的性质，利用特殊值法以及单调性的定义可得在上单调增，且.于是将不等式转化为，并结合单调性得到，最后解得. 【详解】设，则， 令，则，所以， 令，则. 设，因为时，所以， ， ， 由函数单调性的定义可知，在上单调递增. 又因为可化为 ，即， 结合，可得， 所以， 又因为在上单调递增，所以， 即，所以， 因为对恒成立， 所以，解得. 四、解答题 16．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称, ，故为奇函数. (2)， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）先求定义域，再代入化简，利用奇函数定义证明； （2）分离常数变形，用定义法作差比较，结合指数函数单调性证明； （3）利用奇函数性质转化不等式，再借助单调性脱去函数符号，解一元二次不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得. 17．已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据奇偶性结合方程组法求解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题可得，利用单调性法及不等式的性质直接求出的最小值，利用换元法求出的最小值，解不等式即可. 【详解】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. （2）略 （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 18．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由奇函数和偶函数的性质解方程组可得； （2）构造函数，利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式可得. 【详解】（1）由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，则，联立， 解得，． （2）令．因为是奇函数，所以是奇函数， 又和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则，则，解得或， 故不等式的解集为． 19．定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 20．设是定义在上的函数.若对任意，，当时，均有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若分段函数具有性质，且，，求实数，，，的值； (3)已知在上连续且值域为.证明：“是奇函数”的充要条件是“具有性质”. 【答案】(1)不具有性质，理由如下. 首先对性质做核心等价变形：对任意， 由移项可得， 设，则是上的常值函数， 存在常数使得对任意，都有. 取，，满足， ， ， 由于，不满足性质的等式要求，因此不具有性质； (2) (3)①证明充分性： 若是奇函数，则对任意，都有， 对任意满足的实数，， 即成立，因此满足性质，充分性得证； 证明必要性：若具有性质， 则存在常数，使得对任意，都有，结合值域条件确定， 因为的值域为，且遍历全体实数，因此的值域也为， 由，结合可得， 即的值域为，而已知的值域为， 因此值域必须完全对应，所以，解得， 因此对任意，，即， 故是奇函数，必要性得证； 综上，“是奇函数”的充要条件是 “具有性质”. 【分析】（1）先把性质的条件等价转化为是上的常值函数，再取，代入验证等式不成立，从而判定不具备性质； （2）利用性质等价于为常数，结合、建立方程组，再由常函数一次项系数为0求出参数； （3）分充分、必要双向证明；充分性直接利用奇函数定义代入验证性质等式，必要性利用性质得到，结合值域求出，证出奇函数. 【详解】（1）略 （2）已知分段函数具有性质，且，， 由得，即， 由，， 得，整理得，将代入得， 由性质可知为常值函数， 当时，，因此， 故， 当时，， 因为是常值函数，因此的系数必须为0，且常数项等于， 一次项系数：， 常数项：，代入得， 将、代入，得，得，因此， 所以，此时，验证得为常值函数，满足所有条件； （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.2 指数函数 知识归纳与题型总结 考点01 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 考向01 指数函数的判定与求值 【例1】若指数函数的图象经过点，则______． 考向02 根据函数是指数函数求参数 【例2】若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 考向03 求指数函数解析式 【例3】已知函数是指数函数．求的表达式. 【对点1】“函数为增函数”是“函数为指数函数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点2】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【对点3】已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 考点02 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 考向01 判断指数型函数的图象形状 【例1】函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考向02 根据指数型函数图象判断参数的范围 【例2】若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 考向03 指数型函数图象过定点问题 【例3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 考向04 指数函数图象应用 【例4】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考向05 求指数（型）函数的定义域 【例5】若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 考向06 求指数函数在区间内的值域 【例6】已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 考向07 判断指数函数的单调性 【例7】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 考向08 比较指数幂的大小 【例8】若，，，则（    ） A． B． C． D． 考向09 求已知指数型函数的最值 【例9】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向10 含参指数函数的最值 【例10】已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 考向11 指数函数最值与不等式的综合问题 【例11】若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【对点1】（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【对点2】设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 【对点3】（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数的定义域为，则函数的定义域是 D．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【对点4】为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 【对点5】已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【对点6】已知函数，则的值域为_______． 【对点7】下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（     ）． A． B． C． D． 【对点8】（多选）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【对点9】函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【对点10】已知，求函数的最大值和最小值． 【对点11】不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 一、单选题 1．已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 2．已知，则使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 3．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 9．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知定义在上不为常函数的函数满足对任意的，，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 三、填空题 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 12．已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 13．若，则的最小值为___________． 14．已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 15．设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 四、解答题 16．已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 17．已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 18．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 19．定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 20．设是定义在上的函数.若对任意，，当时，均有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若分段函数具有性质，且，，求实数，，，的值； (3)已知在上连续且值域为.证明：“是奇函数”的充要条件是“具有性质”. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $