精品解析：湖南永州市第一中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

9永州一中2026年下期高一期中数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确全集U的元素，再计算集合A与B的并集，最后根据补集的定义运算得到结果. 【详解】由题意可知，全集, 根据并集的定义，， 故. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，化简得恒成立，得解. 【详解】因为函数为奇函数， 则对于定义域内的任意一个，都有， 即， 化简得恒成立， 所以. 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】判断充分性：取，，满足，但无意义，推不出，充分性不成立. 判断必要性：若，则，一定有，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，选项符合题意. 7. 若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为1， 因为有解，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8. 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，令可得的值，令，可得，进而可得.令，可得，，即可求解. 【详解】∵对任意的正数，，都有， ∴令可得，解得； 令，可得，∴. ∴，即. 令，可得，∴. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数与表示的不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应关系分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 对于C：要使有意义，则解得， 要使函数有意义，则，即解得或， 两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 对于D：函数和的定义域都为，两个函数的定义域相同， 又，即对应关系也相同，所以表示同一函数. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 函数在定义域内单调递增 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，即可求解则可对A判断求解；直接计算即可对B判断求解；利用特殊值即可对C判断求解；利用分式不等式即可对D求解. 【详解】A：，所以，故A正确； B：，故B正确； C：，则其定义域为，因，故C错误； D：由，即，化简得，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 高一课外兴趣小组通过课本的推论，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称中心为点 B. 的图象关于直线对称 C. 图象的对称中心为点 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可知函数对称中心和对称轴与函数的奇偶性的关系，根据题意所描述的方程逐个判断各个选项是否成立即可. 【详解】A选项，， 设，为奇函数，所以图象的对称中心为，所以A选项正确； B选项，， 设，，所以不为偶函数， 所以的图象不关于对称，所以B选项不正确； C选项，，∵，，∴为奇函数，∴对称中心为，所以C选项错误； D选项，，设，，所以是奇函数，所以D选项正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】 【详解】. 13. 已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是 【答案】或 【解析】 【分析】先确定函数的对称轴，结合二次函数的性质，由函数在具有单调性，分类讨论：函数单调递增和单调递减，讨论对称性与区间端点的位置可求解． 【详解】∵的对称轴，且函数在具有单调性， ∴或，解得或， 故答案为：或 14. 函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，构造新函数，易知在上单调增加，根据单调性即可得到实数a的取值范围. 【详解】不妨设，因为对于任意， 当时，都有，即， 所以在上恒成立. 令，则当时，恒有， 即在上单调递增， 当，即时，显然符合题意， 当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由题意可得，解得或. 综上，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 计算. （1），（，）； （2）. 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）先将根式化为分数指数幂的形式，然后根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 . 16. 给定函数，，，用表示，中的较大者，记为. （1）求函数的解析式并画出其图象； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 图象如下： （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可； （2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ①当即时，，则， ②当即或时，，则， 故 图象如下： 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 则在上恒成立等价于在上恒成立. 令，， 原问题等价于在上的最小值. ①当即时，在上单调递增， 则，故. ②当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，由时，，故不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），从而求解； （2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解； （3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解. 【小问1详解】 当时，则， 由，则，解得或； 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得在总有两个不同实数解， 即在总有两个不同实数解， 由解得或， 所以，则， 因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以. 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：恒成立的问题常常考虑分离参数，转化为函数的最值或范围的问题，这样可以避免分类讨论. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）写出一个满足性质的函数，并注明定义域； （2）若满足性质在上单调，且对都成立，解关于的不等式； （3）在（2）的条件下，已知，若，证明：. 【答案】（1）答案不唯一，也是正确的 （2）①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤时，不等式解集为. （3）证明：已知，若，， ， ∵在上是单调函数， ∴，， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据新定义写函数即可； （2）利用赋值法得到，再结合在上单调，且在时恒有得到在上单调递减，然后利用单调性解不等式得到，最后分情况解不等式即可； （3）根据单调性和新定义得到，然后利用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 函数； 答案不唯一，也是正确的； 【小问2详解】 若满足性质，且定义域为. 若在上单调，且在时恒有，而时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上是单调函数，只能是单调减函数， 得到，即， 因为在上是单调减函数，所以， 即，即， ①当时，不等式为，不等式解集为； ②当时，即时，不等式为，不等式解集为； ③当时，，不等式解集为； ④当时，，不等式解集为； ⑤时，不等式解集为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9永州一中2026年下期高一期中数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数与表示的不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 函数在定义域内单调递增 D. 的解集为 11. 高一课外兴趣小组通过课本的推论，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称中心为点 B. 的图象关于直线对称 C. 图象的对称中心为点 D. 的图象关于点对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则的值为________． 13. 已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是 14. 函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 计算. （1），（，）； （2）. 16. 给定函数，，，用表示，中的较大者，记为. （1）求函数的解析式并画出其图象； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）写出一个满足性质的函数，并注明定义域； （2）若满足性质在上单调，且对都成立，解关于的不等式； （3）在（2）的条件下，已知，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $