湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期期中自编模拟数学卷

长沙市2026-2027高一上学期期中模拟卷自编卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，且，则等于(    ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.若，，，，则下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 5.下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 6.奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是   ． A. B. C. D. 7.已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 8.设奇函数满足：在上单调递增；，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是． A. 不等式的解集为 B. 若函数在区间上具有单调性，且，，则当时， C. 函数与为同一个函数 D. 已知，，，则 10.下列说法正确的有 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值 11.我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：对任意的，总有；若，，则有成立，下列判断正确的是(    ) A. 若为“函数”，则 B. 若为“函数”，则在上为增函数 C. 函数在上是“函数” D. 函数在上是“函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.当且时，函数必过定点          ． 13.  若不等式的解集为，则           14.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 化简：； 化简：； 已知，求的值． 16.本小题分 已知集合，． 若，求实数的取值范围；若，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 求函数的解析式； 判断并证明在上的单调性； 解不等式． 18.本小题分 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元． 要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ 是否存在实数，同时满足两个条件：技术人员的年人均投入始终不减少；调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19.本小题分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的“不动点”若存在，使得，则称为函数的“稳定点”记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即，． 设函数，求和 请探究集合和的关系，并证明你的结论． 若，且，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市2026-2027高一上学期期中模拟卷自编卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，且，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【解答】解： 因为，， 所以为的正约数， 即或或或， 得或或或， 所以． 故选D． 2.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键，属于基础题． 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项． 【解答】 解：命题“，”是一个全称量词命题． 其否定命题为：，， 故选C． 3.若，，，，则下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题． 已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确． 【解答】 解：若，，，， 对于，由，得，即，故A错误； 对于，由，得，则，故B错误； 对于，由，，得，故C正确； 对于，由，得，故D错误． 故选：． 4.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了运用基本不等式求最值，需拆分配凑成可运用基本不等式的形式，考查学生的逻辑思维能力与运算能力，属于基础题． 化简得，利用基本不等式求最值即可． 【解答】 解：， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是． 故选：． 5.下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解． 【解答】 解：对于中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于中，函数和的定义域不同，不是同一函数； 对于中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数； 对于中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：． 6.奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是   ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为函数式奇函数，在上单调递减， 根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数， 再根据可画出函数在上的图像， 根据对称性画出在上的图像． 根据图像得到的解集是：． 故选A． 7.已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查对数、指数的大小比较，属于中档题． 发现，、都小于再对、的表达式进行变形，判断、之间的大小． 【解答】 解：由题意，可知： ， ． ， 最大，、都小于． ，． 而， ． ， ． 故选A． 8.设奇函数满足：在上单调递增；，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度较大． 对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合． 由于，故可分四段：去考虑． 【解答】 解：因为在递增且， 所以当时，，所以， 当时，，所以． 又因为是奇函数，所以在递增且， 所以当时，，所以， 当时，，所以； 综上解集为：， 故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是． A. 不等式的解集为 B. 若函数在区间上具有单调性，且，，则当时， C. 函数与为同一个函数 D. 已知，，，则 【答案】BCD  【解析】由得解得，且，所以不等式的解集为故选项A错误． 因为函数在区间上具有单调性，且，，所以当时，或，所以当时，只有故选项B正确． 与的定义域均为，又因为，所以函数与为同一个函数故选项C正确． 因为，，，所以，当且仅当时，等号成立故选项D正确故选BCD． 10.下列说法正确的有 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查不等式的简单性质的应用，基本不等式求最值，属于基础题． 利用不等式的基本性质，及基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则判断选项的正误，即可推出结果． 【解答】 解：对于，由于，则必然成立，A正确； 对于，由，由不等式的性质，有，B正确； 对于，， 当且仅当即时取等号，但是取不到，故等号不成立，不正确； 对于，若，则， 若，由，当且仅当时取得等号， 则，则有最大值，D正确． 故选ABD． 11.我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：对任意的，总有；若，，则有成立，下列判断正确的是(    ) A. 若为“函数”，则 B. 若为“函数”，则在上为增函数 C. 函数在上是“函数” D. 函数在上是“函数” 【答案】AD  【解析】【分析】  本题主要考查函数的单调性的证明和函数的性质，考查对新定义的理解和应用． 利用“函数”的定义对每一个命题逐一分析，必须同时满足“函数”的两个条件，才是“函数”，否则就是假命题． 【解答】 解：因为对任意的，总有，所以，又因为，，则有成立，所以所以，综合得，所以若为“函数”，则，是真命题； B.取显然函数同时满足条件和，不是增函数， 所以若为“函数”，则在上为增函数，是假命题； C.显然函数满足条件，如果则所以；如果设则所以，所以函数在上是“函数”是假命题； D.显然，所以满足条件，，所以满足条件所以函数在上是“函数”是真命题． 故选AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.当且时，函数必过定点          ． 【答案】  【解析】略 13.  若不等式的解集为，则           【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次不等式的解与二次方程的根的关系，属中档题． 根据不等式的解集结合对应二次方程的根与系数的关系求解、的值，即可得解． 【解答】 解：由题意可得，是方程的两个根， 则解得故． 故答案为． 14.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，属于较难题． 本题需要构造函数，利用奇偶性和单调性求解． 【解答】 解：根据题意，设， 若函数是定义在上的奇函数，即， 则，则为上的偶函数， 若，则， 又由对任意的，，当时， 都有成立， 则在上单调递减， 则在上，，在上，， 又由，则在上，，在上，， 又由为奇函数，在上，，在上，， 综合可得：的解集为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 化简：； 化简：； 已知，求的值． 【答案】原式； 原式； 因为，两边同时平方得，，整理得，，所以 ．   【解析】略 16.本小题分 已知集合，． 若，求实数的取值范围；若，求实数的取值范围． 【答案】，，，解得，实数的取值范围是． 当时，或，解得或，当时，实数的取值范围是．   【解析】略 17.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 求函数的解析式； 判断并证明在上的单调性； 解不等式． 【答案】解：函数是定义在上的奇函数， ，解得：， ，而，解得经检验符合题意， ，． 函数在上为减函数；证明如下： 任意，且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数． 由题意，不等式可化为， 所以，解得， 所以该不等式的解集为  【解析】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题． 根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式． 根据单调性的定义可得在上为减函数； 根据中的单调性可求不等式的解． 18.本小题分 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元． 要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ 是否存在实数，同时满足两个条件：技术人员的年人均投入始终不减少；调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】解：依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多人 假设存在实数满足条件． 由技术人员年人均投入不减少得，解得． 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，所以当时，取得最大值，所以， ， 即存在这样的满足条件，其值为．   【解析】本题考查解含参的一元二次不等式和利用基本不等式解决实际问题，属于较难题． 由题意列不等式，求解即可； 由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值 19.本小题分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的“不动点”若存在，使得，则称为函数的“稳定点”记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即，． 设函数，求和 请探究集合和的关系，并证明你的结论． 若，且，求实数的取值范围． 【答案】解：函数，令，解得，， 据，得，， 集合和的关系为， 证明：当，显然成立， 当时，设，则，， ，故A． 又由可知与可以相等， 所以． ，有实数根， 或， 解得， ，有实数根， 即， ，的左边有因式， ， 又， 无实根，或其实数根是方程的根， 若无实根， 则或， 解得， 有实根且其实数根是方程的根， 则，解得，解得， 综上所述，实数的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $