精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

重庆八中高2028级高二（上）数学学科 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（ ） A. 14 B. 14或17 C. 22 D. 14或22 6. 若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A. B. C. 3 D. 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 10. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为 C. 若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_________． 13. 已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 14. 已知是双曲线的上焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； 17. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 19. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2028级高二（上）数学学科 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线化为一般式，利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，该距离就是圆的半径，再结合圆心坐标写出圆的标准方程. 【详解】直线，可化为. 圆心，因为圆与直线相切， 所以，. 所以圆的标准方程为. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为方程表示的是双曲线，所以， 因为双曲线的离心率为，所以. 所以双曲线的实轴长为. 4. 在锐角中，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的范围，由正弦定理得到. 【详解】，故， 因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理得 由于在上单调递减，故. 5. 已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（ ） A. 14 B. 14或17 C. 22 D. 14或22 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 6. 若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行性质确定的关系，再利用平行线间距离公式，结合基本不等式求出最大值. 【详解】由直线与直线相互平行， 得，则， 因此直线与之间的距离 ，当且仅当时取等号， 所以与之间距离的最大值为. 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面的距离相等求出，利用求出最短路径即可. 【详解】为腰长为2的等腰直角三角形，且，则，， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为，， 则，设平面的法向量， 则，令，则，所以， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 8. 已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可；C选项，根据椭圆的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确； C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误； D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确. 10. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C不正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为 C. 若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据双曲线的标准方程得到，，，及渐近线的方程．对于A，根据点到直线的距离公式计算即可判断；对于B，分①直线交于双曲线的左右两支和②直线交于双曲线的右支两种情况分析，进而得到的最小值即可判断；对于C，结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算即可判断；对于D，根据圆的性质，及双曲线的定义即可判断． 【详解】由题意可得，，， 所以，，渐近线的方程为，即， 对于A，到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，若直线交于双曲线的左、右两支，显然当，为左右交点时，取得最小值，此时，，则最小值为， 若直线交于双曲线的右支，显然当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，，则最小值为， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由渐近线方程的斜率为，当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左、右两支上， 此时直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设内切圆圆心为，内切圆与，，相切于点，，， 则，，， 因为，所以， 令的横坐标为，则，解得， 所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标恒为，即为定值，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程和离心率公式计算. 【详解】双曲线的渐近线为：，直线与其平行， 所以，所以离心率为： 13. 已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意得在椭圆上，设，根据椭圆定义得到， 则，再结合三角不等式求的最大值，进一步得到的最大值. 【详解】曲线变形为，为椭圆的一部分，且为椭圆的下焦点， 设为椭圆的上焦点，由椭圆定义得，所以； 所以， 因为（当且仅当共线时取等）， 由，得，直线， 当时，直线为 联立，解得或； 所以当时，取最大值； 到直线的距离， 所以此时，. 14. 已知是双曲线的上焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设下焦点为，利用对称性可得，设，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立关于离心率的方程，计算求解即可. 【详解】如图所示，设下焦点为，上焦点为，由题可知：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 设，则，由双曲线定义得：， 所以，则：，，， 根据平行四边形对角互补可知：，已知， 所以，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 则，即：， 两边同时除以得：，即：， 所以，因为，所以， ，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. 【小问1详解】 ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得, 解得,即圆的标准方程为. 【小问2详解】 ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ①当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ②当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，再结合，得到线面垂直，进而可求证； （2）建系，由线面角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， ，， 又底面，，底面， 所以，， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以，， N为中点，故. 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值； （2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，则. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 由余弦定理得， 所以， 解得，或（舍去）， 所以，即的周长为. 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 19. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $