重庆市第一中学校2026-2027学年高二上学期十月定时练习数学试题

秘密★启用前 时间：2026年10月23日8:00-10:00 重庆一中高2028届高二上期十月定时练习 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ） A．5 B．10 C．3 D．6 2．抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知为椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，直角三角形所在的平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为，，为平面上的动点，且的面积为，则点的轨迹为（ ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 8．已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．曲线C：，下列结论正确的有（ ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 10．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P是线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点P到平面的距离为 11．过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（ ） A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，，若，则________． 13．数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 14．已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是________． 四、解答题：大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16．（本题满分15分）已知椭圆：的通径长为3，其离心率． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 17．（本题满分15分）的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设的内切圆半径与外接圆半径分别为，，求． 18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 19．（本题满分17分）已知直线与双曲线的上支交于，两点，弦的中点为，过点，分别作直线：的垂线，垂足分别为，，与轴的交点为． （1）判断直线与以为直径的圆的位置关系； （2）证明：； （3）记与的交点为，与的交点为，记，的面积分别为，，求的最小值． 重庆一中高2028届高二上十月定时练习 数学参考答案 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B D C A 8题：直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点A、B也关于原点对称，记C的下焦点为，利用对称性，四边形为平行四边形，则，，可得，且，不妨设，，，离心率． 二、多选题： 9 10 11 BD ABD ACD 11题：对A：抛物线，则，，准线方程：．A正确； 对B：当AB与x轴垂直时，取得最小值2p，．B错误； 对C：由A，O，C三点共线可得，同理可得，则根据抛物线的性质，，，．C正确； 对D：，同理可得，并且，则4，，则，，根据焦半径公式，则，．D正确． 三、填空题： 12． 13． 14． 14题：可知，设点，可得，则，代入抛物线E得，即，顶点为，则，． 四、解答题： 15．（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D为的中点，故，可得， 所以． ，，，所以平面． 平面，故， 所以平面BCD． （2）． 16．（1）由，得，．椭圆方程为． （2）设，，， 得，， 由得，代入椭圆得 或． 17．（1）由，得，，，． （2）由，得，即，， 代入，得，故是以A为直角的直角三角形． ， 所以． 18．（1）延长DA，CB交于Q，连接PQ，则平面平面． 平面PAB 所以为直线l与平面PAB所成角， 易得，所以． （2）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系． ，，，，设球心，则． ，即，即，． ，． 法二：几何法 （3），，设平面BDM的法向量为， 则，取，得， 设，，则，设平面BDN的法向量为， 则， 时，，可取，则N的轨迹为线段AD； 时，取，得， ，化简得． 设PA中点为S，则N的轨迹为线段DS． 故N的轨迹长度为． 19．（1）显然直线l是双曲线的上准线，圆心E到直线l的距离， 所以直线l与以AB为直径的圆相交． （2）设，，则． 联立得． ，有． ． 所以． （3）同理可得，AF方程为，CE方程为． 所以，即． 所以，故G为AF的中点，同理H为BF的中点． 所以 ， ，． 所以的最小值为9，当即时取得． 学科网（北京）股份有限公司 $