精品解析：重庆市石柱中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

重庆市石柱中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 数学试卷 出题审题：张丹 张兵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的一个方向向量是, 故选：A 2. 已知空间向量，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得． 3. 如图，平行六面体中，，，，则=（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可. 【详解】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以，， ， 所以 . 所以. 4. 一束光线从点射出，经直线：反射，若反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设点关于直线的对称点为． 因为，且的斜率为，所以直线的斜率为 1， 即，得. 又线段的中点在上， 所以，即. 联立解得，，即. 由反射定律可知，反射光线所在直线即为直线． 因为，所以直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 6. 已知圆，直线，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式计算即可求出结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为； 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则需满足圆心到直线的距离为1即可， 即，解得. 7. 已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率的几何意义，结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，再利用数形结合即可得范围. 【详解】点在圆上，圆心，半径为， 设，则k表示圆上点与连线的斜率， 当PQ与圆相切时，，得或． 结合图像k的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，正方体的棱长为，是正方体表面上的动点且，则点的轨迹周长为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出的轨迹，再利用圆心角计算弧长即可. 【详解】 如图所示，当点时，因为平面，平面， 所以，又，，所以， 画出点在平面的轨迹，可知：在平面上点的轨迹是一个圆心角为，半径为的圆弧， 同理可得在平面与平面上点的轨迹是一个圆心角为，半径为的圆弧， 当点平面时，取上一点，上一点为，使得， 又，故，，故， 故在平面上点的轨迹是一个圆心角为，半径为的圆弧， 同理点平面与平面上的轨迹为圆心角为，半径为的圆弧， 所以点的轨迹长度为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中四点，则下列结论正确的是（） A. B. 三点共线 C. 在方向上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题以空间点的坐标为载体，通过向量坐标运算，依次验证向量模长、三点共线、投影向量、点到直线距离四个结论，核心是熟练运用空间向量的数量积、共线判定与投影公式. 【详解】，，. 选项A，， 即，A错误； 选项B，，说明与共线；又两向量有公共起点，因此三点共线，B正确； 选项C，，， 故向量在方向上的投影向量为，C正确； 选项D，点到直线的距离为，D错误. 10. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线、圆的几何性质及位置关系，逐项进行求解即可. 【详解】对于A选项，由直线，可得， 所以，解得，所以直线恒过定点，故选项A正确； 对于B选项，由选项A可知，直线恒过定点， 因为，所以点在圆内，所以直线与圆一定相交，故选项B错误； 对于C选项，将代入圆，可得， 解得，，所以圆被轴截得的弦长为，故选项C正确； 对于D选项，设点，当直线被圆截得最短弦长时，可得， 又，，所以，所以， 所以直线的方程为，即，故选项D错误. 11. 已知过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出直线和经过的定点，再根据直线和圆的位置关系及几何性质，逐项进行分析即可. 【详解】直线，所以直线过定点，并且斜率不可能为0， 直线，所以直线过定点，并且斜率一定存在， 又，所以，且垂足为， 所以的轨迹为以为直径的圆（去掉一点）， 即以为圆心，半径为的圆挖掉点. 对于A选项，因为，所以，所以，故选项A正确； 对于B选项，因为，所以，故选项B正确； 对于C选项，表示点到定点的距离， 如图所示， 当在位置时，最小值， 当在点位置时无最大值，， 所以的取值范围为，故选项C错误； 对于D选项，当点与点重合时，，此时， 当点与点重合时，，此时， 当点不与点、点重合时，此时中，设， 则， 所以，其中，， 所以，所以， 所以， 综上所述，，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，则=____________. 【答案】5 【解析】 【分析】先利用向量加法计算，再利用模长计算公式计算模长. 【详解】，则 13. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【答案】0或 【解析】 【详解】已知圆，则圆心，半径． 已知圆，则圆心，半径． 因为圆与圆内切，且， 所以圆在圆内部，且圆心距， 化简可得，解得或． 14. 已知在平面直角坐标系中，，，，动点满足，则的最大值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由坐标距离公式写出、、的表达式，由化简得到动点P的轨迹方程，确定P在一个定圆上，展开 、、，把化简为关于x，y的二元一次式加常数，最后利用三角函数求出二元一次式的最大值，即可求出的最大值. 【详解】，，， ， 两边平方得， 化简得，， 所以P在圆心为，半径为的圆上， ， ， ， ， 求的最大值，即求的最大值， 令，，，， 的最大值为1，所以的最大值为， 的最大值为， 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线的交点为， （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)方法一：先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程； 方法二：先求出两直线的交点，根据垂直关系设的方程为，再代入即可得答案. (2)结合（1）得点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 解 ：方法一： 联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 方法二：设的方程为，代入得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 解：由（1）得， 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. （1）证明：； （2）求到平面的距离. 【答案】（1）因为正方体，所以且， 因为和分别为和的中点. 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质可知，再由线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由空间距离的向量求法直接计算可得其距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 又由向量， 所以点到平面的距离为. 17. 已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）求切线的方程； （2）求切点弦所在直线的方程． 【答案】（1）和. （2） 【解析】 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，利用待定系数法求解切线方程即可； （2）方法一：首先根据（1）的计算结果，联立方程求出切点的坐标，再根据直线与直线相互垂直求出斜率，最后根据点斜式求解直线的方程即可； 方法二：首先通过勾股定理求解切线长，再求解出以为半径，为圆心的圆的方程，最后通过求解两圆公共弦所在直线方程的方法即可求出直线的方程； 方法三：首先求出以为直径的圆，进而通过求解两圆公共弦所在直线方程的方法即可求出直线的方程. 【小问1详解】 当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. 【小问2详解】 方法一：由（1）可知，圆的一个切线方程为，联立方程， 解得：，即， 又，，则， 由于直线与直线相互垂直，所以， 所以直线的方程为，整理得. 方法二：已知圆心，半径， 又，可得：， 则 以为半径，为圆心的圆的方程为， 即， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 则把圆与圆相减，得， 所以直线的方程为. 方法三：，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则其方程为，整理得：， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 把圆与圆相减，得：， 所以直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）若底面是正方形，为中点，点为中点，平面交于点． （ⅰ）求； （ⅱ）若，点到平面的距离为，点为线段上一动点(包含端点)，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）（ⅰ）设，利用空间向量基本定理，得到及，对比系数列出方程组即可求；（ⅱ）建立空间直角坐标系，，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值与的关系，再利用函数性质求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）设， 则有 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故，解得，所以. （ⅱ）由（1）可知平面，所以两两垂直. 设的长度为，则，. 所以，解得，即. 故以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以，，，. 在线段(包含端点)上，设，则， 则， 设平面MAD的法向量， 则即 取，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 由于，所以，所以 即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②点，过点的直线（斜率不为0）与曲线交于、两点，连接和，求证：总是平分. 【答案】（1） （2）①； ②证明：设点、， 因为直线的斜率不为0，所以设直线的方程为， 联立，可得， ，由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 所以 所以总是平分. 【解析】 【分析】（1）方法一：由题，设点，再根据解得，进而计算半径，并求得圆的标准方程； 方法二：根据题意求得的垂直平分线l的方程为，再结合圆的圆心在直线联立方程即可求得圆心，并计算半径即可得答案； （2）①设点、，由向量关系得，再结合即可求得答案； ②设点、，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，证明即可得出结论. 【小问1详解】 解：方法一：因为圆心在直线上，设点， 由题意得，即，解得， 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. 方法二：因为圆的圆心在直线上，且经过点和， 和的中点坐标为，，所以的垂直平分线斜率为1，所以GH的垂直平分线l的方程为，所以，解得，所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①设点、，由可得， 所以，解得， 因为点在上，所以（*）， 将代入等式（*）得，即， 故曲线的方程为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市石柱中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 数学试卷 出题审题：张丹 张兵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 如图，平行六面体中，，，，则=（    ） A. B. C. D. 4. 一束光线从点射出，经直线：反射，若反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 6. 已知圆，直线，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，是正方体表面上的动点且，则点的轨迹周长为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中四点，则下列结论正确的是（） A. B. 三点共线 C. 在方向上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 10. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 已知过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，则=____________. 13. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 14. 已知在平面直角坐标系中，，，，动点满足，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线的交点为， （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程. 16. 如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. （1）证明：； （2）求到平面的距离. 17. 已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）求切线的方程； （2）求切点弦所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）若底面是正方形，为中点，点为中点，平面交于点． （ⅰ）求； （ⅱ）若，点到平面的距离为，点为线段上一动点(包含端点)，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②点，过点的直线（斜率不为0）与曲线交于、两点，连接和，求证：总是平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $