精品解析：安徽宣城市宁国中学2026-2027学年高一上学期语数英对抗赛数学试题

安徽省宁国中学 2026 级高一年级语数英对抗赛 数学试题 满分：150 分　　时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的子集的个数（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再用“含个元素的集合有个子集”计算． 【详解】因为，，所以， 含个元素，其子集个数为. 2. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定可得出结论. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 由，，得或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 4. 一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在和处有两条竖直渐近线，即函数定义域为， 对于A，定义域为，与图相矛盾，故A错误； 对于B， 函数值大于零，故B错误． 对于D，图象关于 轴对称，说明函数是偶函数，而 不是偶函数，故D错误； 故图象对应的解析式可能是C选项. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，且；再按奇函数的性质求值． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以定义域关于原点对称， 即，解得，定义域为 ． 又奇函数的图象过原点，所以，得． 于是，由为奇函数得． 6. 已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义可知系数为；又函数关于轴对称，则为偶函数，即指数为偶数；又函数与两坐标轴都无交点说明指数小于，由此确定的值，从而求出的值. 【详解】由是幂函数，则，解得； 因为图象关于轴对称，所以函数为偶函数，则指数为偶数； 又图象与轴、轴均无交点，所以，即， 又且，只需检验，易得只有时，为偶数， 故，所以，符合题意，因此． 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 8. 已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解第一个不等式，再把第二个不等式分解为 ，按两根大小分类，用数轴数整数点，最后逐项检验． 【详解】由 得 或 ． 又 ，其两根为 与 ． 当 ,不等式的解集为空集不符合题意， 当 时，即，解集为 ，与 的交集为 ， 其中恰有一个整数解当且仅当 ，即 ；符合题意 当 时，即，解集为 ， ①当时，即，它与 的交集含于 ，不含整数，且 它与 的交集为空；不符合题意， ②当时，即，它与 的交集中有唯一的整数是 ，它与 的交集为；此时解集中不能有整数，符合题意， ③当时，即时，它与 的交集含于 ；解集中唯一的整数是 ，它与 的交集为，至少含有整数5，不符合题意， 综上可知关于  的不等式组 仅有一个整数解，  的取值范围是 或， 结合选项可知，ABC不可能，D可能. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由 得 ， 解得或， 对于A， 时 ，代入不等式中，，不满足充分性，故A 错误； 对于B，，， 都满足不等式或， 但或不能推出，，， 所以是充分不必要条件，故B 正确； 对于C，该条件与解集完全相同，是充要条件，故C 错误； 对于D，可以推出或， 但或不能推出， 所以是充分不必要条件，故D 正确． 10. 对任意两个实数，定义，若 ，，下列关于函数的说法正确的有（　　） A. 函数是偶函数 B. 函数有四个单调区间 C. 函数的最小值为，无最大值 D. 方程有四个不同的根 【答案】ABC 【解析】 【分析】先解找出分界点，写出的分段表达式，再逐项判断． 【详解】令，设， 则，即，，得，故． 所以当时；当时． 即当时；当时． 对于A ：，所以是偶函数，故A正确； 对于B：在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增，共四个单调区间，故B正确； 对于C：当时；当时，故最小值为1； 又 时，无最大值，故C正确； 对于D：时，得；得，共个根，故D错误. 11. 若，均为正数，且满足，则下列命题正确的是（　　） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，配凑系数直接求解即可判断选项A；将代入，利用二次函数即可求出最小值，从而判断选项B；利用基本不等式结合检验等号是否可取，即可判断选项C；将代入，利用基本不等式直接求解，即可判断选项D. 【详解】对于A，由，均为正数，根据基本不等式可得，， 当且仅当，即，时取等号，选项A正确； 对于B，由，则，， ，所以当时，取最小值为，选项B正确； 对于C，由，均为正数，则，当且仅当时取等号， 因为，当时，等式不成立，则不等式等号取不到，所以，选项C错误； 对于D，，当时取等号，此时最小值为，选项D正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【详解】命题为真，即存在实数使方程 成立， 也就是方程 有实数根，所以 ，解得 ． 故的取值范围是 ． 13. 若函数，则________． 【答案】（） 【解析】 【分析】用换元法：令，注意的取值范围． 【详解】令，则，，， 所以，即（）． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 已知集合为全体实数集，或，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将代入，求出M的补集，再利用交集的定义求解作答. （2）根据包含关系的定义，按集合N是否是空集分类求解作答. 【小问1详解】 当时，，而， 所以. 【小问2详解】 因，则当，即时，，此时满足，即， 当，即时，，则有或，即或，因此， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数 （1）求 ，； （2）若 ，求实数 的值； （3）在所给的坐标系中作出函数 在 区间内的图象，并写出最大值与最小值． 【答案】（1），； （2） 或 ； （3） 最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）由内向外代入，注意每段的自变量范围； （2）分 与 两种情况解方程并检验； （3）分段作图，端点处注意取闭、开． 【小问1详解】 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ． 【小问2详解】 当 时，，解得 ，满足 ； 当 时，，即 ，解得 ， 其中 舍去， 符合题意． 所以 或 ． 【小问3详解】 当 时，图象是线段 （含端点 ，）； 当 时，图象是二次函数 的一段（不含 处的点 ，含点 ），顶点为 ． 由图象可得， 的最大值为 （在 或 处取得），最小值为 （在 处取得）． 17. 数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人． （1）若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 【答案】（1）每月生产 个时平均成本最低，最低为 万元 （2）定价应在 万元到 万元之间（含两端） 【解析】 【分析】（1）写出平均成本函数，用基本不等式求最小值； （2）设降价万元，列出收入关于的不等式． 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以每月生产个人形机器人时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元； 【小问2详解】 设单价降低万元（），则售价为万元，销售量为个， 销售总收入为万元．由题意， 整理得，即，解得， 所以售价，即定价应在万元到万元之间（含两端）． 18. 已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． （1）求 ， 的值； （2）证明：函数 在区间 上单调递增； （3）若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1），； （2）由（1）得 ．设 ，则 ． 因为 ，所以 ，，， 从而 ，即 ． 所以 在 上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义比较系数求 ，再代点求 ； （2）用作差法，分解因式后判断符号； （3）把“恒成立”转化为 的最值比较，注意 的取值范围． 【小问1详解】 ．因为 为奇函数，所以 ， 即 ，比较得 ，． 又图象过点 ，所以 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知 在 上单调递增，所以 ． 又 ，所以 ．命题为真，即对任意 都有 ． 而 等价于 ，即 ，解得 ． 所以 ，即 且 ，故 ． 19. 设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； （3）若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 【答案】（1）； （2）交换律：，证明： 依题意，设，，则， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定定义直接计算作答. （2），再利用所给定义计算证明作答. （3）结合（2）及给定条件，求出元素I，再验证即可作答. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设， 即，则， 当时，显然有成立，即元素为A中任意元素， 当时，则，解得， 因此当，都有成立时，得， 反之，当时，，设，， 所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件， 元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宁国中学 2026 级高一年级语数英对抗赛 数学试题 满分：150 分　　时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的子集的个数（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. 或 D. 10. 对任意两个实数，定义，若 ，，下列关于函数的说法正确的有（　　） A. 函数是偶函数 B. 函数有四个单调区间 C. 函数的最小值为，无最大值 D. 方程有四个不同的根 11. 若，均为正数，且满足，则下列命题正确的是（　　） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 13. 若函数，则________． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 已知集合为全体实数集，或，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）求 ，； （2）若 ，求实数 的值； （3）在所给的坐标系中作出函数 在 区间内的图象，并写出最大值与最小值． 17. 数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人． （1）若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 18. 已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． （1）求 ， 的值； （2）证明：函数 在区间 上单调递增； （3）若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 19. 设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； （3）若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $