精品解析：安微省滁州市定远县定远中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

定远中学 2026 级高一年级第二次素质检测数学试卷 拟卷人：王婷婷　　校对人：查道丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】，，则. 故选：B. 2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由原命题为假命题可知其否定，使得成立是真命题，转化为对于有解，分离可得，即可求解. 【详解】若命题“，”是假命题， 所以，使得成立是真命题， 即对于有解， 所以，所以， 因为，所以，， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：D 【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，， ∴，当且仅当且时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D． 4. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果. 【详解】由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段讨论求解， 【详解】原不等式等价于或，解得， 故选：C 6. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得是R上的增函数，用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组即可求解. 【详解】因为函数满足对任意， ，当时都有成立， 所以是R上的增函数， 于是，即， 解得，即. 故选：A 7. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解. 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】 其中，， 即， 当时，当或时，由，得， 即或， 当时，当时，由，得， 由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为， 故选：． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，B,因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以即的最大值是，故A错误，B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则； B. 命题“，”的否定是“，或” C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质，直接判断选项A；根据存在量词命题的否定直接判断选项B；利用抽象函数定义域的定义判断选项C即可；令左右两式相减，根据结果的正负即可判断选项D. 【详解】对于A，令， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，或”，B正确； 对于C，因为函数的定义域为， 所以，， 所以，， 即函数的定义域为，C正确； 对于D，若，， 则，， 则，D错误. 故选：ABC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有时，，判断单调性判断A、B；讨论、，结合函数新定义求的值域，即可判断C、D. 【详解】由解析式易知，函数定义域为，A对； 当，则，故在区间上单调递增，B错； 当时，，此时函数最小值为1， 当时，，则，当且仅当时取等号，C对； 当时，， 当时，，则，当且仅当时取等号，D对； 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 为偶函数，则实数___________． 【答案】0 【解析】 【详解】∵为偶函数 ∴恒成立 即恒成立 即恒成立 所以. 13. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，令，分别求出和的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调减区间. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令， 在单调递增， 因为函数在单调递增，在单调递减， 由复合函数的单调性知：在单调递减. 故答案为： 14. 已知正数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得，进而得，由基本不等式可得解. 【详解】由，得， 由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，、 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【小问1详解】 由 得 ，所以 ． 当时，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，又，即. ① 当 时，，即 ，满足； ② 当时，，此时需或，即或，结合 得． 综上，的取值范围是或． 16. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. 经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元． 【解析】 【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出的函数关系式； （2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值；第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论． 【详解】解：（1）， 所以； （2）当时，， 所以当时，取最大值为元， 当时，， 而， 当且仅当即时取等号， 所以元， 综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元． 18. 已知函数，. （1）若在上为偶函数，求，的值； （2）设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 【答案】（1）， （2）①在上单调递增，证明如下： 由（1）得，，任取满足， ， 由于，故，， 于是，则 则在上单调递增. ② 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，然后由二次函数是偶函数结合对称轴可求出，由于偶函数的定义域关于原点对称可以求出； （2）①利用定义来证明函数的单调性；②结合为奇函数和其单调性解不等式. 【小问1详解】 由得，， 因为在上是偶函数， 则，且定义域关于原点对称：， 所以，； 【小问2详解】 ①函数在上单调递增；证明略； ②因为函数的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数， 由，即， 又因为在上单调递增，则，解得， 所以实数t的取值范围是. 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远中学 2026 级高一年级第二次素质检测数学试卷 拟卷人：王婷婷　　校对人：查道丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则； B. 命题“，”的否定是“，或” C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若，，则 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 当时，的最小值为1 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 为偶函数，则实数___________． 13. 函数的单调递减区间为__________． 14. 已知正数，满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数，. （1）若在上为偶函数，求，的值； （2）设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $