精品解析：安微省颍上第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

颍上一中 2026 级高一上学期 10 月阶段考（数学）试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，共 40 分. 1. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设全集，集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知正数满足：，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 二、多项选择题：本大题共 3 小题，共 18 分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 的最小值为2； B. 当a＞0，b＞0时，； C. 若a2+b2=2，则a+b的最大值为2； D. 若正数a，b满足则的最小值为. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 不等式 的解集为 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 13. 若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是_________. 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，集合或． （1）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值． 18. 已知函数（）． （1）解关于的不等式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合 为非空数集．定义：，． （1）若集合 ，直接写出集合 ，； （2）若集合 ，，且 ，求 的值； （3）若集合 ，，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颍上一中 2026 级高一上学期 10 月阶段考（数学）试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，共 40 分. 1. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 2. 设全集，集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 4. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 5. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 6. 已知正数满足：，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，转化为，由“1”的代换，利用基本不等式转化，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】设，则， 所以（当且仅当，即时取等号） 且， 解得：，即 的最小值为 故选：B. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，考查了学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题. 7. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果. 【详解】由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，共 18 分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 的最小值为2； B. 当a＞0，b＞0时，； C. 若a2+b2=2，则a+b的最大值为2； D. 若正数a，b满足则的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式分别判断A、B、D选项，C选项可设，利用三角函数的值域求范围. 【详解】A选项，，则， ，当且仅当，即时成立，又，故A错； B选项，当a＞0，b＞0时，， 当且仅当，即时等号成立，B正确； C选项，设，则， C正确； D选项，，， 则，当且仅当且时等号成立，解得，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 不等式 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由解集是两端点确定的闭区间知，且，是方程的两根，用韦达定理把，用 表示后逐项判断． 【详解】由解集为知，且，是的两根， 所以，，即，。此时，故，． 对于A：，故A正确； 对于B：，不可能取到，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，即，两边除以，得， 即，，解得，故D正确． 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 13. 若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的关系，将原命题等价转化成不等式的有解问题进行求解. 【详解】由题意，存在实数使得不等式成立， 所以不等式的解集非空， ①当时，，得，符合题意， ②当时，不等式对应的二次函数开口向下， 故的解集显然非空，符合题意， ③当时，因为不等式的解集非空， 所以，即，解得或， 所以或， 综上或， 故答案为： 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围. 【详解】因为 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，，所以当时取得最大值4 所以由恒成立可得，解得 故答案为：1； 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，集合或． （1）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果； （2）由可得且，解不等式即可求出结果． 【小问1详解】 因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； 【小问2详解】 ，且 ∴且，即 故的取值范围是． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立，可转化为恒成立，求解即可； （2）先求出为真命题时，实数的取值范围，再根据命题与命题一真一假，结合（1），即可求解. 【小问1详解】 因为为真命题，即对任意，不等式恒成立， 令，，所以在时恒成立， 所以即可， 又，，为增函数，所以， 所以，即，整理得，即， 结合二次方程和二次函数的性质，可得不等式的解集为， 所以为真命题，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 若为真命题，则存在，使得不等式成立， 令，则对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，所以时，函数取得最小值， 所以成立即可，即，解不等式得， 所以为真命题时，实数的取值范围是. ①若为真命题，为假命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 因为为真命题时，实数的取值范围是， 所以为假命题时，实数的取值范围是， 所以当为真命题，且为假命题时，实数的取值范围是； ②若为假命题，为真命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题时，可得实数的取值范围是， 又为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题，且为真命题时，实数的取值范围是. 综上所述，若命题与命题一真一假，则实数的取值范围是. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值． 【答案】 的最小值为 元，此时 【解析】 【分析】设 ，由十字形面积求出矩形的另一边长，再把花坛、花岗岩、草坪三部分面积用 表示，最后用基本不等式求最小值． 【详解】设（m），则十字形面积为 ，所以 ． 正方形的边长为，面积为，花坛造价为； 四个阴影矩形的总面积为，花岗岩造价为 ； 每个空角三角形的两条直角边长均为，四个三角形的总面积为， 草坪造价为． 所以 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号． 所以 元，此时 ． 18. 已知函数（）． （1）解关于的不等式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）①当时，解集为； ②当时，若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； ③当时，解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解为，按、、及与的大小分类； （2）把不等式看成关于的一次不等式，由端点处成立列不等式组． 【小问1详解】 ． ①当时，，解集为； ②当时，不等式即， 若，则，解集为； 若，则，解集为； 若，则，解集为； ③当时，不等式即，又，解集为． 【小问2详解】 原不等式即，把它看成关于的一次函数， 要使它对任意恒成立，只需端点处成立： 当时，，解得或； 当时，，即，解得． 取交集得，所以的取值范围是． 19. 已知集合 为非空数集．定义：，． （1）若集合 ，直接写出集合 ，； （2）若集合 ，，且 ，求 的值； （3）若集合 ，，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值． 【答案】（1），； （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）直接按定义列举； （2）由 得 ，再比较差集与 的元素； （3）用 、 以及 ， 都是 的子集得 的上界，再构造取等的集合． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 因为 ，且 最小，所以 ． 由 知 ，， 与 ，， 都是 中的元素， 6 个差均属于A的正元素，而A仅有3个正元素，因此差只能取这3个值， 故 ，，． 记 ，，则 ． 若 ，则 ；此时 需等于 （等于 或 均不可能），得 ，， 此时 ，，符合； 若 ，即 ，则 ，但 中最小正元素为 ，矛盾． 所以 ，即 ． 【小问3详解】 设 ，（），由 知 ， 的元素都在 内． 一方面， 都是 中的元素，所以 ； 另一方面，，，， 是 中 个互不相同的元素，所以 ． 因为 且 ， 都是 的子集，所以 ， 于是 ，解得 ． 取 ，此时 ，，，且 ， 所以 的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $