2026--2027学年浙教版数学八年级上册期中测试卷（1-3章）

2026浙教版数学八上期中测试卷（1-3章） 学校：____________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号：____________ 注意事项： 满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）下列是一元一次不等式的是 (　　). A．2x+1=5 B．2x+1 C． D．2x+1>10 2．（3分）将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 3．（3分）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分.要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 5．（3分）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ，AB于E，F 点，若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM 的周长的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（3分）若x<y，则下列各式中一定成立的是 (　　). A．x-y>0 B．x-2>y-2 C．-3x>-3y D． 7．（3分）已知一个等腰三角形的底角的度数为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　) A．100° B．80° C．50°或80° D．20° 8．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　）. A．-6<a<-5 B．-6≤a<-5 C．-6<a≤-5 D．-6≤a≤-5 9．（3分） 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　). A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH，△FCG， 四边形BDIG 的面积分别记为S1， S2， S3， 若已知 则两个较小正三角形纸片的重叠部分 (△HIJ)的面积为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 二、填空题(共6题；共18分) 11．（3分）如图，都是等边三角形，则的度数是　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高线.当∠B=40°，∠C=60°，则∠DAE=　 　. 13．（3分）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明.如图是勾股定理的推广.已知在钝角△ABE中，以其三边向外作正方形，若正方形ABCD的面积为36，J是边AB上靠近点B的三等分点，EJ⊥AB，记正方形AEFG的面积为S1，正方形EBIH的面积为S2，当∠AEB的度数发生变化时，S1-S2的值为　 　. 14．（3分）如图， 在Rt△ABC中， ∠B =90°， AC =8， AD 是△ABC的角平分线， E， F分别在AC， AB 边上. AF =4，AE =6， 连结 DF， DE. 若DE = DF， 则△ABC 的面积是　 　. 15．（3分）已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是　 　． 16．（3分）某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀(不低于90分)，那么小明至少答对了　 　题. 三、解答题(共8题；共72分) 17．（8分）解一元一次不等式（组）： （1）（4分） （2）（4分） 18．（8分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，点F在边 AC上，连结 AD，DF，EF，且AD=AF，∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°， （1）（4分） 求证： △ABD∽△DEF； （2）（4分） 若AB=3， CF=2 时， 求CD的长. 19．（8分）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）（4分）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）（4分）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 20．（8分）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． （1）（4分）解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； （2）（4分）求整数的值． 21．（8分） 如图， 在△ABC中， BE平分∠ABC， DE∥BC. （1）（4分）请判断△BDE的形状，并说明理由： （2）（4分）若∠A=55°， ∠C=70°， 求∠BDE的度数. 22．（12分）著名的“赵爽弦图”如图① 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为ab+（b-a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2。 （1）（4分）图② 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图② 推导勾股定理。 （2）（4分）如图③ ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB. 测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米。 （3）（4分）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长。 23．（12分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在Rt△ABC中， （1）（4分）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是 的等腰分割线； （2）（4分）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点 P，且.PB=PA，求CP的长度； （3）（4分） 在△ABC， 点Q是边AB上的一点， 若直线CQ是 的等腰分割线，求线段 BQ 的长度. 24．（8分）如图，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）（4分）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）（4分）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026浙教版数学八上期中测试卷（1-3章） 学校：____________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号：____________ 注意事项： 满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列是一元一次不等式的是 (　　). A．2x+1=5 B．2x+1 C． D．2x+1>10 【答案】D 【解析】【解答】解：A、2x+1=5是一元一次方程，故A错误， B、2x+1是代数式，故B错误， C、x2+1＞5是二次不等式，故C错误， D、2x+1＞10是一元一次不等式，故D正确， 故答案为：D . 【分析】根据一元一次不等式的概念逐项进行分析判断即可. 2．将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【答案】D 【解析】【解答】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可． 3．一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分.要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意可得：. 故答案为：D. 【分析】设答对x道题，则答错或不答的题数为(20-x)道，答对的题得分为5x，答错或不答的题得分为-(20-x)，然后根据总得分不少于88分即可列出不等式. 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【解析】【解答】解：因为AE平分 所以 因为 所以 因为在 中， 所以 因为 是 的一个外角， 所以 故答案为：B. 5．如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ，AB于E，F 点，若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM 的周长的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】【解答】解： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴点A与点C关于EF对称. 连接AD与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小的位置. ∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形， ∴AD⊥BC． CD = BD =×8 = 4， ∵S△ABC=24，BC=8， ∴ AD = = 6． ∵MA=MC， ∴△CDM的周长=MC+MD+CD=AD+DC=6+4=10. 故答案为：D. 【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案. 6．若x<y，则下列各式中一定成立的是 (　　). A．x-y>0 B．x-2>y-2 C．-3x>-3y D． 【答案】C 【解析】【解答】解：x<y，则x-y<0，故A错误； x<y，则x-2<y-2，故B错误； x<y，则-3x>-3y，故C正确； x<y，则，故D错误； 故答案为： C. 【分析】根据不等式的性质，依次判断各选项是否正误，即可得结果. 7．已知一个等腰三角形的底角的度数为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　) A．100° B．80° C．50°或80° D．20° 【答案】D 【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为80°， ∴等腰三角形另一底角的度数为80° ∵三角形内角和是180° ∴这个等腰三角形的顶角的度数为180°-80°-80°=20° 故选：D. 【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质确定另一个底角的度数，再利用三角形内角和为180°求出顶角的度数. 8．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　）. A．-6<a<-5 B．-6≤a<-5 C．-6<a≤-5 D．-6≤a≤-5 【答案】C 【解析】【解答】解：由不等式组 得a≤x<-2， ∵不等式组 的整数解共有3个，故整数解为-3、-4、-5. 故答案为：C. 【分析】先表示出不等式组的解集为a≤x<-2，再由整数解的个数可得a的取值范围. 9． 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　). A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【解析】【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC ∵∠B=90°， ∴BD=DE， ∵DE⊥AC，∠B=90° ∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90° ∴∠CDE=∠CAB，故①正确； 在Rt△ABD和Rt△AED中， ∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)， ∴AE=AB， ∴AC=AE+EC=AB+EC，故②正确， 故选：A. 【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②. 10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH，△FCG， 四边形BDIG 的面积分别记为S1， S2， S3， 若已知 则两个较小正三角形纸片的重叠部分 (△HIJ)的面积为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得， 故答案为：C . 【分析】根据勾股定理得到 根据正三角形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正三角形纸片的重叠部分( △HIJ )的面积. 二、填空题(共6题；共18分) 11．如图，都是等边三角形，则的度数是　 　． 【答案】120° 【解析】【解答】解：都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故答案为：120°． 【分析】根据等边三角形的性质，结合”手拉手“全等模型证明，从而得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数. 12．如图，在△ABC中，∠C>∠B，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高线.当∠B=40°，∠C=60°，则∠DAE=　 　. 【答案】10° 【解析】【解答】解：∵ ∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°， 又∵ AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=， 又∵ AE是△ABC的高线， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-40°=10°， 故答案为：10°. 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC=80°，然后根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠BAE的度数，然后根据角的和差解答即可. 13．《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明.如图是勾股定理的推广.已知在钝角△ABE中，以其三边向外作正方形，若正方形ABCD的面积为36，J是边AB上靠近点B的三等分点，EJ⊥AB，记正方形AEFG的面积为S1，正方形EBIH的面积为S2，当∠AEB的度数发生变化时，S1-S2的值为　 　. 【答案】12 【解析】【解答】解：由题意知AB=6，则AJ=4，BJ=2，设EJ=m，则由题意得 ，， . 故答案：12. 【分析】由题意知AJ和BJ的长，由此可得AE2和BE2的表达式，即可得S1-S2的值. 14．如图， 在Rt△ABC中， ∠B =90°， AC =8， AD 是△ABC的角平分线， E， F分别在AC， AB 边上. AF =4，AE =6， 连结 DF， DE. 若DE = DF， 则△ABC 的面积是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：过D作DH⊥AC于H， ∵∠B=90°， ∴DB⊥AB， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DH=DB， ∵DE=DF， ∴Rt△DEH≌Rt△DFB(HL)， ∴EH=BF， ∵DH=DB，DA=DA， ∴Rt△DHA≌Rt△DBA(HL)， ∴AH=AB， ∵AF=4，AE=6， ∴BF+4=6-EH=6-BF， ∴BF=1， ∴AB=AF+BF=5， ∴△ABC的面积 故答案为：. 【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质推出DH=DB，判定Rt△DEH≌Rt△DFB(HL)，得到EH=BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA(HL)，推出AH=AB，得到BF+4=6-BF，求出BF=1，得到AB=AF+BF=5，由勾股定理求出BC=然后根据三角形的面积公式计算即可. 15．已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是　 　． 【答案】①④ 【解析】【解答】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ①若它的解集是，则， 解得，故结论正确； ②当时，． 不等式组无解，故结论不正确； ③若它的整数解仅有3个，则，解得． 则的取值范围是，故结论不正确； ④若它有解，． 解得，故结论正确． 综上可知，正确的有①④． 故答案为：①④． 【分析】 先使用含参数的式子表示出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定出所有符合要求的整数解，最后结合整数解的范围列出关于参数的不等式组，即可求出参数的取值范围. 16．某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀(不低于90分)，那么小明至少答对了　 　题. 【答案】22 【解析】【解答】解：设小明至少答对x道题，由题意得 5x-2(29-x)≥90 解得x≥21 故不明至少答对22题. 答案：22. 【分析】设答对了x道，则有(29-x)道答错，由题意列不等式，求出x的范围，即可知结果. 三、解答题(共8题；共72分) 17．解一元一次不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 （2）解： 由①得：， 整理得：， 系数化为，得； 由②得：， 整理得：， 系数化为，得， 则不等式组的解集为： 【解析】【分析】（1）求解一元一次不等式时，遵循“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的标准步骤计算即可，需要特别注意：将系数化为时，如果未知数的系数是负数，不等式的不等号方向要发生改变。 （2）求解不等式组时，先分别计算出不等式组中每一个不等式的解集，再根据解集确定口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，即可得到不等式组的最终解集. （1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： 由①得：， 整理得：， 系数化为，得； 由②得：， 整理得：， 系数化为，得， 则不等式组的解集为：． 18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，点F在边 AC上，连结 AD，DF，EF，且AD=AF，∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°， （1） 求证： △ABD∽△DEF； （2） 若AB=3， CF=2 时， 求CD的长. 【答案】（1）证明：∵AD=AF，∠DAF=90°， ∴△ADF是等腰直角三角形 ∴∠ADF=∠AFD=45° ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADF+∠EDF=45°+∠EDF ∴45°+∠BAD=45°+∠EDF， ∴∠BAD=∠EDF， ∵∠B=∠DEF=45° ∴△ABD∽△DEF （2）解：∵△ADF是等腰直角三角形， ∴， ∵△ABD~△DEF， ∴ ∵AB=3 ∴， ∵∠AFD=∠DEF=45°， ∴∠CDF+∠C=∠C+∠EFC， ∴∠CFE=∠CDF， ∵∠C=∠C， ∴△CEF∽△CFD， ∴ ∴ 解得(负根已经舍去)， ∴. 【解析】【分析】(1)由题意可知△ADF是等腰直角三角形，再根据三角形外角的性质，利用AA定理进而即可证明△ABD∽△DEF； (2)先根据等腰直角三角形的性质得到边的关系，再利用相似三角形的性质求出DE的长度，然后通过角的关系证明另一组三角形相似，进而求出CE的长度，最后求出CD的长度. 19．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【解析】【分析】 （1）首先设A型号智能机器人的单价为x万元，B型号智能机器人的单价为y万元，结合题目第一条给出的信息，列出对应的二元一次方程组，求解该方程组即可得到两种型号机器人的单价； （2）设该企业计划采购A型智能机器人a台，则需要采购B型智能机器人为台，再结合题目给出的两个要求：总采购费用不超过720万元，每日总分拣快递量不低于200万件，列出关于a的一元一次不等式组，解该不等式组即可得到结果. （1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 20．已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． （1）解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； （2）求整数的值． 【答案】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组，得：， 整理得， 解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 【解析】【分析】（1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． （1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 21． 如图， 在△ABC中， BE平分∠ABC， DE∥BC. （1）请判断△BDE的形状，并说明理由： （2）若∠A=55°， ∠C=70°， 求∠BDE的度数. 【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形， 理由：∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠CBE ∵DE//BC， ∴∠DEB=∠CBE ∴∠ABE=∠DEB ∴BD=DE. ∴△BDE是等腰三角形 （2）解：∵∠A=55°，∠C=70° ∴∠ABC=180°-55°-70°=55° ∵DE//BC. ∴∠BDE+∠ABC=180° ∴∠BDE=180°-∠ABC=180°-55°=125° 【解析】【分析】(1)根据BE平分∠ABC，DE//BC，可知∠ABE=∠DEB，所以BD=DE，从而可知△BDE是等腰三角形； (2)根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案. 22．著名的“赵爽弦图”如图① 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为ab+（b-a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2。 （1）图② 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图② 推导勾股定理。 （2）如图③ ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB. 测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米。 （3）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长。 【答案】（1）解：梯形ABCD的面积为（a＋b）（a＋b）a2＋abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2＋abb2， 即a2＋b2＝c2 （2）解：设CA＝x km， ∴AH＝(x－1.8)km， 在Rt△ACH中， CA2＝CH2＋AH2， 即x2＝2.42＋(x－1.8)2， 解得x＝2.5， 即CA＝2.5（km）， ∴CA－CH＝2.5－2.4＝0.1（km）， 答：新路CH比原路CA短0.1千米 （3）解：设AH＝y km，则BH＝(6－y)km， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2， ∴CA2－AH2＝CB2－BH2， 即42－y2＝52－(6－y)2， 解得：y， 即AH km 【解析】【分析】（1）先利用梯形的面积公式求出图形的面积，再利用三个直角三角形的面积和求出面积，两式相等，即可得出答案； （2）设CA＝x km，则AH＝(x－1.8)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得x的值，再作差即可得出答案； （3）设AH＝y km，则BH＝(6－y)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得y的值即可. 23．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在Rt△ABC中， （1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是 的等腰分割线； （2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点 P，且.PB=PA，求CP的长度； （3） 在△ABC， 点Q是边AB上的一点， 若直线CQ是 的等腰分割线，求线段 BQ 的长度. 【答案】（1）解：∵∠ACB=90°， O为AB中点，在Rt△ACB中， ∴ △AOC和△BOC 都是等腰三角形. ∴ 直线OC 是△ABC的等腰分割线； （2）解：由题可知PA=PB， BC=6， 设CP=x， 则PA=PB=8-x，在Rt△BPC中， 解得， 即： （3）解：①若为等腰三角形， 如图(3)，当AC=AQ时，AQ=8，BQ=AB-AQ=2， 如图(4)，当QC=QA时，Q为AB中点，BQ 当CA=CQ时，Q不在线段AB上，舍去. ②若为等腰三角形. 如图(5)，当CQ=CB时，过C作于M，此时M为BQ的中点， 中， 如图(6)，当BC=BQ时，BQ=BC=6. 如图(7)，当QC=QB时，Q为AB中点，BQ 综上，BQ=2或5或或6. 故答案为：5或2或6或 【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形； (2)设CP=x，则.PA=PB=8-x，根据勾股定理列方程得：解出即可； (3)分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论；再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论. 24．如图，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】（1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在，中， ， ∴， ∴； 即处于同一平面的两条伞骨和相等 （2）解：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为 【解析】【分析】（）结合题干条件可以得到，再利用边角边判定定理，即，证明，根据全等三角形对应边相等的性质，即可推出； （）由可得，已知，根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而推出，再通过勾股定理计算得到，最后结合直角三角形的相关性质就可以求出最终结果。 （1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在，中， ， ∴， ∴； 即处于同一平面的两条伞骨和相等； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $