2026-2027学年上学期高二期中考试数学模拟练习卷（河南周口市适用）

2026—2027上学期高二年级期中考试 数学参考答案 1、 单项选择题 1．C【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 2．B【详解】，故，解得，所以直线的倾斜角为，的斜率. 3．A【详解】当时，直线与直线， 即直线与直线，是平行关系，即满足充分性，当直线和直线平行时，有，解得或， 当时，可知两直线平行，当时，两直线为与直线，是平行关系，故不满足必要性，所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 4．B【详解】因为为中点，为中点， 所以 于是 在正四面体中,棱长为，各面均为等边三角形，所以 所以 5．B【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得，故在基底下的坐标为. 6．B【详解】对于直线：，令，得，故定点，对于直线：，令，得，故定点，由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点），中点为圆心，半径，设点，， 点到距离的最大值为. 7．D【详解】由椭圆：，可得，，，，所以焦点，，，因为点在上，则由椭圆的定义可知，，以为圆心，作一个半径为6的圆，则点在此圆上，当点，异侧时，如图所示， 设，则，在等边中，， 在中，由余弦定理得， ，在中，，故，所以点，异侧舍去； 当点，同侧时，如图所示，在等边中，， 则，又因为，所以，即点，，三点共线，故， 设，则，在中，由余弦定理得，，即， 整理得，，，所以. 8．D【详解】如图所示：由，可得重心.已知在轴上，的垂直平分线为； 中点为，直线斜率为3，故垂直平分线斜率为，所以垂直平分线方程为：，即，将代入得：，即外心.由欧拉线定义和和，可得欧拉线方程为：.圆的圆心为，半径，由切线性质可知，，因此的面积，即面积最小等价于切线长最小.因为，所以最小等价于点到直线上动点的距离最小，点到直线的最短距离为， 代入得. 二、多项选择题 9．BCD【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误；对于B，设点的坐标为，由点，则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B正确；对C：由，故，，，四点共面，故C正确；对D：假设共面，则存在实数，使得，即，因为是空间的一个基底，则有，无解，故不共面，故也是空间的一个基底，故D正确. 10．ABD【详解】圆心到直线：的距离为，圆的半径为， 对于A项，若，则，则圆心在直线上，因此平分圆，A项正确； 对于B项，若，则，则与圆相切，故B项正确；对于C项，若，则，若与圆相交，则， 得，得，得，这与相矛盾，故C项错误；对于D项，设切线长为，由切线长公式得， 得，得，若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则圆心到直线的距离等于，即，得，令，得，得，得，得或，故或，故D项正确． 11．AC【详解】联立椭圆方程与直线方程解得，． 由于所取的交点均在轴上方，所以设，则，，．设椭圆在处的切线为．联立椭圆方程并消去，得因为直线与椭圆相切，所以判别式，即又，故即，解得，所以切线方程为A选项：如图1，设和的角平分线交于点，作（或其延长线），，，其中在所在射线上．由角平分线的性质可得 由直角三角形全等，分别得到，，．如图，点位于的延长线上，点位于线段上，因此 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，则，．由椭圆的定义，，，故而右顶点满足，且，均在从指向轴正方向的射线上，故，点在定直线上，A正确．B选项：如图2，将切线方程分别与，联立，得于是由，得． 又，，所以，从而．因此 当时取等号．其最小值为，并非，B错误． C选项：由，，，可知直线的方程为，直线的方程为，且设点到直线，的距离分别为，．由点到直线的距离公式，得以，为底、，为高，分别计算两个三角形面积， 得因此所以为定值，C正确． D选项：由四边形可分成三角形与，结合C选项所得定值，得当且仅当时取等号． 由于，面积相等结合上面的面积表达式可得，进而，此时为椭圆上顶点． 所以四边形的最大面积为，并非，D错误． 三、填空题 12．【详解】，则， 又因为，，所以. 13． 【详解】将圆的一般方程配方，化简为标准方程：，因此圆的半径；设，其几何意义为圆上动点与定点连线的斜率，整理得直线方程，由于点在圆上，故直线与圆有公共点，圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式：，代入，得：，两边平方得，化简得，解得，因此的取值范围是. 14．【详解】由题可知，直线：恒过定点，所以直线与椭圆C  必有两个交点， 联立，整理得：，设，，由韦达定理得：，，向量，，所以，又，，故， 所以 ， 因为为定值，所以，解得. 四、解答题 15．(1) (2) 【详解】（1）如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 .因为正方体棱长为 2， 所以 ，因为为 的中点，所以，因为 为 的中点，所以， 因为 在棱 上，且 ，所以 ，故 ， 因为 为 的中点， ，所以 ， ，所以 ， 即 的长为 ；.............................................................（5分） （2），所以 ， ，设 与 所成角为 ， 则 ， 故 与 所成角的余弦值为 ............................................（13分） 16．(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以直线的斜率，又中点的坐标为，设线段的中垂线的斜率为，则， 所以由点斜式得线段的中垂线方程为，整理得............................................（6分） （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即............................................（15分） 17．【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 又底面底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以为直线与所成角，即，在直角中，，所以.......（5分） （2）因为平面且为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则， 令，得所以，因为 平面所以平面的法向量可取， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.......（10分） （3）依题意，，又， 所以， 设， 则，所以， 由，得， 所以， 由（1）知，又因，所以， 所以线段上存在点，使得， 此时.......................................................................（15分） 18．(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为线段的中点，因为，所以圆心的坐标为， 圆的半径为，所以圆的方程为...............（4分） （2）当斜率不存在时，过点 的直线，此时，舍去. 当斜率存在时，设直线的方程为即.圆心到直线的距离为，因为，，由垂径定理可得， 即，所以，所以，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 综上，直线的方程为或............................................（10分） （3）由切线的性质可知，，，且，四边形PECF面积，在中，， 所以，要使最小，需最小.因为在直线 上， 所以的最小值为点到直线的距离，所以， 即四边形PECF面积的最小值为.....................................................（17分） 19．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）． 【详解】（1）不妨设在的上方，则，，由可得① 又为椭圆上一点，且，则② 由①，②消去，可得③由椭圆：的焦距为，得④由③、④可得，，故椭圆的方程为．................（4分） （2）如图所示； （ⅰ）由题知圆的半径为，设过原点作圆的切线方程为， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得：， 若，则有圆与轴相切，此时、至少有一个不存在，故， 又直线均与圆相切， 则，是方程的两个不相等的实数根，故且， 由点在椭圆上，可得，即， 所以．....................................................（10分） （ⅱ）设，由（ⅰ）中得，则⑤ 因为、在椭圆上，故有，，代入⑤得：，化简得，故， 则有， 当且仅当时等号成立，此时直线与关于轴对称， 因此，的最小值为．.................................................（17分）    学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027上学期高二年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（     ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 5．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按得部分分. 9．下列说法中正确的是（     ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，，且满足，则点的坐标为 C．若空间四个点，，，满足，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．已知直线：，圆：，，，是上的动点，则（    ） A．若，则平分圆 B．若，则与圆相切 C．若，则与圆相交 D．若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则或 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为．两条直线和与椭圆在轴上方的两个交点分别为和，动点在椭圆上，且，．若过点作椭圆的切线，与直线，分别交于，两点，则（   ） A．和的角平分线的交点在定直线上 B．的最小值为 C．为定值 D．四边形的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面，的法向量分别为，，则平面和夹角的余弦值为______． 13．已知圆的方程为，则圆的半径________，设是圆上一点，则的取值范围是________． 14．已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值． 16．（15分）已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 17．（15分）17．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. (1)求； (2)若E为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）设点，以线段为直径作圆 ． (1)求圆的方程； (2)若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； (3)已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 19．（17分）已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $