精品解析：四川达州市大竹县观音中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段性检测数学试题

四川省大竹县观音中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段性检测数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数，，，，3.14 159，，1.2020020002中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 三角形三边之长分别是：①3，4，5；②8，15，17；③9，24，25；④13，12，15．其中能构成直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 5. 下列说法正确的是（     ） A. 0的平方根与算术平方根都是0 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的平方根是 6. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A. 18m B. 10m C. 14m D. 24m 7. 如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，在中，点M是边上一个动点．若，，则的最小值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 11 D. 12 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 10. 已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则代数式的值为_______． 12. 若的值在两个整数与之间，则______． 13. 如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为________． 14. 若，则的立方根是______． 15. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是______． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 18. 如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 已知的算术平方根是2，的立方根是，c是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 20. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 21. 定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． （1）若，，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果，，证明“如意数”c是非负数． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点，均在格点上． （1）______， ______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求四边形的面积． 23. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 24. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：______． （2）计算：． （3）已知，求的值． 25. 问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． （1）请你将的面积直接填写在横线上：______． （2）思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． （3）探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． （4）直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省大竹县观音中学2026-2027学年八年级上学期第一次阶段性检测数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数，，，，3.14 159，，1.2020020002中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据“整数和分数统称为有理数，包含有限小数及无限循环小数，无限不循环小数是无理数”处理． 【详解】解：，， 故，，3.14 159，，1.2020020002是有理数，，是无理数； 故选：A． 【点睛】本题考查有理数、无理数的定义，掌握常见的无理数的形式是解题的关键． 2. 三角形三边之长分别是：①3，4，5；②8，15，17；③9，24，25；④13，12，15．其中能构成直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形中两条较短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可． 【详解】解：①∵32+42＝52，∴能构成直角三角形； ②∵82+152＝172，∴能构成直角三角形； ③∵92+242≠252，∴不能构成直角三角形； ④∵122+132≠152，∴不能构成直角三角形； ∴能构成直角三角形有①②， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较短边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可． 【详解】解：A、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、是最简二次根式，此选项符合题意； D、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是理解什么是最简二次根式． 4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 5. 下列说法正确的是（     ） A. 0的平方根与算术平方根都是0 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A. 18m B. 10m C. 14m D. 24m 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度. 【详解】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90º， ∴AB=m， ∴树高10+8=18m. 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用. 7. 如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 8. 如图，在中，点M是边上一个动点．若，，则的最小值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，作底边上的高，利用等腰三角形性质和勾股定理求出，再利用面积法求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 由勾股定理得， 根据垂线段最短可知，当时，最小， ， ， 解得． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 12. 若的值在两个整数与之间，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 13. 如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是解题的关键． 根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，在中，，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 因为将沿着翻折，使C点落在边上的点E处， ， ， 在中， 即， 解得：， 故答案为：． 14. 若，则的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 15. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，沿将圆柱侧面展开， 由题意得，，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法及混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解答本题的关键． （1）将原式中的各二次根式进行化简后再合并即可； （2）原式根据平方差公式与完全平方公式，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． 18. 如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，判定，． （1）由，推出，即可证明； （2）延长交于，过作交的延长线于，判定，推出，，得到，判定，推出，，求出，由勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于，过作交的延长线于， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ∴． 19. 已知的算术平方根是2，的立方根是，c是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小和平方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ∴ =6， ∴的平方根为． 20. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； 【小问2详解】 解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 21. 定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． （1）若，，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果，，证明“如意数”c是非负数． 【答案】（1）8 （2） 证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 略 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点，均在格点上． （1）______， ______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： ∵,， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理以及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得：，，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形的面积． 23. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3 （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 24. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：______． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分子分母同时乘以，根据分母有理化进行计算即可求解． （2）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 25. 问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． （1）请你将的面积直接填写在横线上：______． （2）思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． （3）探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． （4）直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1） （2） （3） （4）当x为时，函数的最小值是 【解析】 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【小问1详解】 根据题意得： =． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． 【小问3详解】 设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． 【小问4详解】 函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $