精品解析：湖南岳阳市第十九中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年岳阳市第十九中学八年级（上）月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. x2+5x-1=x（x+5）-1 B. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x C. x2-9=（x+3）（x-3） D. （x+2）（x-2）=x2-4 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 【详解】解：A.右边不是积的形式，故A错误； B.右边不是积的形式，故B错误； C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确． D.是整式的乘法，不是因式分解，故D错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义. 2. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据公因式的概念，找出多项式各项的公因式即可． 【详解】解：多项式中各项的公因式是2ab， 故选：A． 【点睛】此题考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式． 3. 下列式子从左至右变形不正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D符合题意． 故选：D． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　） A. B. 3y（x2﹣2） C. y（3x2﹣6） D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：3x2y﹣6y ＝3y（x2﹣2） ＝3y（x+）（x﹣） 故选A． 【点睛】本题考查实数范围内因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解的一般步骤是解题的关键． 6. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，其结构特点为两个平方项相减，不要和完全平方公式进行混淆．需逐一分析选项是否符合该形式即可． 【详解】A、，可整理为，不符合平方差公式的结构，故本选项不符合题意； B、，两平方项相加，符号相同，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； C、，直接符合的形式，可用平方差公式分解为，故本选项符合题意； D、，为完全平方式，需用完全平方公式分解，而非平方差公式，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如果是一个完全平方式，那么k是( ) A. 6 B. -6 C. 6 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式解答，即可求解． 【详解】解∶∵，是一个完全平方式， ∴． 故选∶C 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 9. 计算后的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：C． 10. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式的值等于，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式值为可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 若代数式的值等于，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键． 12. 若是的一个因式，则常数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算能力，准确理解并运用多项式乘多项式进行求解是解题的关键． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解即可． 【详解】设该多项式的另一个因式是． 得， ， 解得：， ． 故答案为：． 13. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把所求式子的分子去括号合并同类项，分母分解因式，再约分并代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴ 原式， 故答案为：． 15. 观察填空：如图，各块图形面积之和为，因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式可得，整个图形面积为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：各块图形面积之和为， 根据长方形面积公式可得，整个图形面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据图形面积进行因式分解，解题的关键是掌握同一个图形，用不同方式表示的面积相等． 16. 已知（且）、、、、，若的值为，则x的值为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】依次计算数列前几项，找出循环周期，根据周期定位对应的项，建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这一列数每过三个数重复一次，如、，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用乘方运算化简分式，再将除法转化为乘法，最后约分计算． （2）先把除法变为乘倒数，将变形为，再约分进行分式乘法运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 22. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　． （2）求代数式x2+2x+4的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】（1）；（2）3；（3）△ABC是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意首先对m2﹣4m﹣5进行配方，然后利用平方差公式法分解因式即可； （2）根据题意对x2+2x+4进行配方，然后求解最小值即可； （3）首先对a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0整理变形，得到，可得a=b，b=c，即可判断出△ABC的形状． 【详解】解：（1）m2﹣4m﹣5 （2）x2+2x+4 ∵， ∴， ∴最小值为3． （3）a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0， ∴a=b，b=c，即， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式分解因式，配方法运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式． 23. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】（1）①没有完成，；② （2）2026 【解析】 【分析】本题考查了利用换元法和公式法分解因式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①该同学没有完成因式分解；再利用完全平方公式分解因式即可得； ②设，则原式可变形为，先利用完全平方公式分解因式，再将代入，利用完全平方公式分解因式即可得； （2）设，则原式可变形为，计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【小问1详解】 解：①该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：． ②设， 原式 ． 【小问2详解】 解：设， 原式 ． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） （3）将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】（1）真 （2），的值为或或或 （3）最小值为 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； 【小问2详解】 解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； 【小问3详解】 解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年岳阳市第十九中学八年级（上）月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. x2+5x-1=x（x+5）-1 B. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x C. x2-9=（x+3）（x-3） D. （x+2）（x-2）=x2-4 2. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列式子从左至右变形不正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　） A. B. 3y（x2﹣2） C. y（3x2﹣6） D. 6. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果是一个完全平方式，那么k是( ) A. 6 B. -6 C. 6 D. 18 8. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算后的结果是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式的值等于，则______． 12. 若是的一个因式，则常数的值为_________． 13. 已知，则代数式的值为_____． 14. 若，则的值为________． 15. 观察填空：如图，各块图形面积之和为，因式分解______． 16. 已知（且）、、、、，若的值为，则x的值为 _________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2）． 19. 用简便方法计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 22. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　． （2）求代数式x2+2x+4的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，试判断△ABC的形状． 23. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） （3）将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $