精品解析：山东淄博市博山中学（五四制）2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

博山中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了提公因式分解因式，确定多项式各项系数的最大公约数，以及共有字母的最低次数，组合得到公因式，即可作答． 【详解】解：， ∴把多项式分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 3. 下列各式，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：的分母为常数，的分母中是常数，二者均为整式， ，，，的分母均含有字母，均为分式，共个． 4. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平 方差公式，完全平方公式的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，能运用平方差公式分解，故选项A不符合题意； B、，能运用平方差公式分解，故选项B不符合题意； C. 首尾虽为平方形式，但加上的不是他们乘积的2倍，不能分解，本选项C符合题意； D、可用完全平方公式分解，故选项D不符合题意； 故选C 【点睛】能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍． 5. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差计算公式得出样本数据，再根据中位数、众数、平均数、方差的定义依次计算，找出错误说法即可． 【详解】解：由方差计算公式可知，这组样本数据为，样本容量， 将数据从小到大排序为，， ∵中位数为中间两个数的平均数，即，∴A选项说法正确； ∵出现次数最多，∴众数是，∴B选项说法正确； ∵平均数，∴D选项说法错误； 计算方差得，∴C选项说法正确． 6. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 7. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c，根据乙分解的结果求出b，然后代入利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ， 故选：B． 8. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 9. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用增根使分式分母为0确定增根的值，将分式方程化为整式方程后代入增根计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴，即， 将代入， 得． 10. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则， ∴，， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11. 写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是_____． 【答案】 【解析】 【分析】写一个分母不为零的分式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 12. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 13. 若将进行因式分解的结果为，则=_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】将（3x+2）（x-1）展开，则3x2-mx+n=3x2-x-2，从而求出m、n的值，进一步求得mn的值． 【详解】解：∵（3x+2）（x-1）=3x2-x-2， ∴3x2-mx+n=3x2-x-2， ∴m=1，n=-2， ∴mn=-2. 故答案为-2． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，知道因式分解前后两式相等是解题的关键． 14. 如果是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将多项式的两个平方项改写为完全平方的形式，再结合完全平方公式的中间项特征建立等式，求出的值即可． 【详解】解：∵ ∴该完全平方式的中间项满足， ， 解得． 15. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 16. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】每个括号内的式子可通过平方差公式拆分为两个分数的乘积，利用相邻项的交叉约分简化连乘计算． 【详解】解：∵ 对任意整数，由平方差公式可得， ∴ 原式可展开为 ． 三．解答题（共8小题） 17. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）先凑出公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可，熟练掌握分式运算法则，分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴当时， 原式． 20. 某市射击队为了从两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）计算平均数，（环），_________（环）；通过散点图比较：_________（“”“”或“”）； （2）请你根据八轮射击成绩，从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差等作全面分析） 【答案】（1），； （2）解：选择选手参加青少年射击比赛，理由如下， 由得，环，环， ∴， 选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， ∴中位数为， 选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， ∴中位数为， ∴ ， ， ∴， 综上可知，两名选手的中位数相等，但选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强，所以选择选手参加青少年射击比赛． 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解答即可； 根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，运动员的平均数（环）， 根据散点图得，运动员的成绩的波动比运动员大， ∴； 【小问2详解】 略． 21. 阅读理解： 对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变.于是有=＋－==． 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆）项法. （1）请用上述方法把x2－4x＋3分解因式. (2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？ 【答案】（1）(x－1)(x－3)；（2）原式有最小值，此时，x=－1． 【解析】 【详解】解：（1）原式=x2－4x＋4－1=(x－2)2－1=(x－2＋1)(x－2－1)=(x－1)(x－3)； (2) 原式=x2＋2x＋1＋1=（x＋1)2＋1，因为（x＋1)2≥0， ∴原式有最小值，此时，x=－1． 22. 某中学组织学生去福利院献爱心，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等. (1)向甲、乙两种礼品的单价各为多少元? (2)学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2400元，那么最多可购买多少个甲礼品? 【答案】(1)甲礼品的单价为100元，乙礼品的单价为60元；(2)最多可购买15个甲礼品. 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据“花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等”列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2400元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30-m）个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】(1)设购买一个乙礼品需要x元， 根据题意得=， 解得x=60， 经检验x= 60是原方程的根， 所以x+40= 100， 答：甲礼品的单价为100元，乙礼品的单价为60元； (2)设总费用不超过2400元时，可购买m个甲礼品，(30- m)个乙礼品， 根据题意得100m+ 60(30- m)≤2400， 解得m≤15， 答：最多可购买15个甲礼品. 【点睛】此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式． 23. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； 【小问2详解】 分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 24. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”． （1）已知，求的值． （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式和待求式分别取倒数，转化为含的形式，利用完全平方公式代入计算； （2）类比倒数法的思路，先由已知条件求出的值，再对待求式取倒数变形后代入求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 等式两边取倒数得， 即， 对待求式取倒数，得， ∵， 代入，得， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 等式两边取倒数得， 即， ∴， 对待求式取倒数，得， ∵， 代入，得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 6. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 6 10. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是_____． 12. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 13. 若将进行因式分解的结果为，则=_____． 14. 如果是一个完全平方式，则的值是______． 15. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 16. 计算：_________． 三．解答题（共8小题） 17. 因式分解 （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 20. 某市射击队为了从两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）计算平均数，（环），_________（环）；通过散点图比较：_________（“”“”或“”）； （2）请你根据八轮射击成绩，从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差等作全面分析） 21. 阅读理解： 对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变.于是有=＋－==． 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆）项法. （1）请用上述方法把x2－4x＋3分解因式. (2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？ 22. 某中学组织学生去福利院献爱心，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等. (1)向甲、乙两种礼品的单价各为多少元? (2)学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2400元，那么最多可购买多少个甲礼品? 23. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 24. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”． （1）已知，求的值． （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $