精品解析：山东省 淄博市博山区第一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（五四制）

2025—2026学年度第一学期期中考试 初三数学试题 一、选择题 1. 下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； B、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； C、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； D、选项中的甲骨文能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是掌握因式分解的定义； 根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式”判断即可． 【详解】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、不是因式分解，故本选项错误； C、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D． 3. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 4. 在倡导“全民阅读”的环境下，越来越多的学生选择去图书馆借阅图书，小红根据去年4~10月本班同学去图书馆借阅图书的人数，绘制了如图所示的折线统计图，则这些人数的众数是（ ） A. 46人 B. 42人 C. 32人 D. 27人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数，折线统计图．根据众数的定义解答即可． 【详解】解：在这一组数据中32是出现次数最多的， 故众数是32． 故选C． 5. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如下图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用了点的平移的坐标变化规律，解题关键得出点B的对应点的坐标． 由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移3个单位，上移2个单位， ∵， ∴点B的对应点的坐标，即 故选：C． 7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元）， 故选C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）． A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 9. 在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，用平方差公式分解因式，将分子进行因式分解，确定其质因数组成，再对各选项分解质因数，判断是否均为分子的因数． 【详解】解：∵ ， A．，所有质因数均在分子中存在，符合条件，故A不符合题意； B．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故B不符合题意； C．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故C不符合题意； D．，分子中无质因数7，因此无法整除，故D符合题意． 故选：D． 11. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积，图2中，阴影部分的长为，宽为，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积， 图2中，阴影部分的长为，宽为， ∴图2中阴影部分的面积， ∴， 故选：D． 12. 已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理．将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形， 故选：B． 二、填空题 13. 因式分解： _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由十字相乘法进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题． 14. 若分式的值为0，则x的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0． 15. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式求值、等式的基本性质等知识点，掌握分式求值的方法是解题的关键． 由方程可知，将方程两边除以，得到，即可求解的值． 【详解】解：∵， ∴， 将方程两边同时除以，得：， 移项得：． 故答案为：． 16. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC＇＝____. 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位， ∴顶点C平移的距离CC′=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查平移的性质，简单题目． 17. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 18. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，此时，，阴影部分面积为40，则平移的距离为______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，即得，求出，即可求出，即为平移的距离． 【详解】解：∵，沿着点B到C点的方向平移到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，即为平移的距离； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质、得出是解题的关键． 19. 某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 7 18 15 10 那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是__________． 【答案】7， 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的定义，众数是出现次数最多的数据，中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数或中间两个数的平均数． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，阅读时间为7小时的人数最多，为18人，因此众数为7． 总人数为50人，中位数应为第25和第26个数据的平均数．累积人数：时间为6小时的有7人，时间为7小时的有18人，累积至25，因此第25个数据为7，第26个数据为8（时间为8小时的有15人，从第26个开始）．故中位数为． 故答案为7，． 20. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据3的平均数和方差分别是________________ 【答案】4，3 【解析】 【详解】试题解析：∵据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2， ∴， ∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是， ∴ [（x1-2）2+（x2-2）2+[（x3-2）2+（x4-2）2+（x5-2）2]=①； ∴3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均数是 = ， =3×-2=4． ∴ [（3x1-2-4）2+（3x2-2-4）2+（3x3-2-4）2+（3x4-2-4）2+（3x5-2-4）2] = [9（x1-2）2+9（x2-2）2+9（x3-2）2+9（x4-2）2+9（x5-2）2] =×9[（x1-2）2+（x2-2）2+[（x3-2）2+（x4-2）2+（x5-2）2]② 把①代入②得，方差是：×9=3． 21. 已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 ______． 【答案】a≤-1且a≠-2 【解析】 【详解】去分母可得：a+2=-x+1， 解得：x=a+1， 根据解为非正数可得：x≤0，且x≠-1， 即a+1≤0，且a+1≠-1， 解得：a≤-1且a≠-2． 故答案为：a≤-1且a≠-2． 22. 观察下列等式：，，，……计算 的结果为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将式子先提取公因式后，再根据等式的规律计算即可. 【详解】 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据式子特点，提取公因式. 三、解答题 23. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 24. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． （1）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答； （2）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，， 所以原分式方程无解． 25. 先化简，再求值：，从、、中选一个合适的带入求值． 【答案】；当时，原式= 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，再把代入求值即可； 【详解】解： ； ∵且， 当时，原式； 26. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 【答案】30元 【解析】 【详解】试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程． 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则 2×=， 解得 x=30 经检验，x=30是原方程的根． 答：第一批盒装花每盒的进价是30元． 考点：分式方程的应用． 27. 如图所示，的各顶点坐标为，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出的坐标； （3）求在平移过程中，线段扫过的面积． （4）如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2） （3）5 （4）由C到的直线，平移的距离是5个单位长度． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—平移变换、勾股定理、四边形的面积、坐标与图形等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）根据（1）的作图写出的坐标即可； （3）如图：连接，线段扫过的面积为平行四边形，然后运用割补法求解即可； （4）如图：连接，根据勾股定理求出的长以及一次函数的解析式，进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：． 【小问3详解】 解：如图：连接， 则在平移过程中，线段扫过的面积为平行四边形， 平行四边形的面积为， 所以线段扫过的面积为5． 【小问4详解】 解：如图：连接， 由图可知， 设的解析式为：， 根据题意有：，解得：， ∴的解析式为：， ∴如果将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由C到的直线，平移的距离是5个单位长度． 28. 某中学开展“青春筑梦，强国有我”演讲比赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： （1）根据图示求出表中的a、b、c的值． 平均数 中位数 众数 八（1）班 a 85 c 八（2）班 85 b 100 ______，______，______． （2）请你帮助评委老师分别计算出两班复赛成绩的方差和； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，你认为哪个班级的复赛成绩较好？ 【答案】（1），， （2） （3） 八（1）班、八（2）班的平均数相同，但八（1）班的方差小，八（2）班的众数大， 故从众数看，八（2）班的成绩好；从方差看，八（1）班的成绩均衡． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，条形统计图等知识点，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：八（1）班成绩的平均数为：（分），众数（分）， 八（2）班成绩重新排列为：70，75，80，100，100，则八（2）班中位数为：（分）， 综上所述：，，； 【小问2详解】 解：八（1）班复赛成绩的方差， ， ； 【小问3详解】 略 29. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】（1）两次加油的总量是：升，平均价是元/升． （2）解：当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱．当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱 理由：设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升）， ∵， ∴当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱； 当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱． 【解析】 【分析】（1）根据题意找出对应量，列式即可； （2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），根据题意列出式子，讨论即可． 【详解】（1）妈妈两次加油的总量是：升； 妈妈两次加油的平均价是（元/升）． （2）略 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 初三数学试题 一、选择题 1. 下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 3. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 4. 在倡导“全民阅读”的环境下，越来越多的学生选择去图书馆借阅图书，小红根据去年4~10月本班同学去图书馆借阅图书的人数，绘制了如图所示的折线统计图，则这些人数的众数是（ ） A. 46人 B. 42人 C. 32人 D. 27人 5. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如下图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）． A. 2 B. 1 C. 3 D. 9. 在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 11. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ） A. B. C. D. 12. 已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题 13. 因式分解： _______________ ． 14. 若分式的值为0，则x的值为___________． 15. 已知，则的值为__________． 16. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC＇＝____. 17. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 18. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，此时，，阴影部分面积为40，则平移的距离为______ 19. 某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 7 18 15 10 那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是__________． 20. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据3的平均数和方差分别是________________ 21. 已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 ______． 22. 观察下列等式：，，，……计算 的结果为__________________． 三、解答题 23. 因式分解 （1） （2） 24. 解分式方程 （1） （2） 25. 先化简，再求值：，从、、中选一个合适的带入求值． 26. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 27. 如图所示，的各顶点坐标为，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出的坐标； （3）求在平移过程中，线段扫过的面积． （4）如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离． 28. 某中学开展“青春筑梦，强国有我”演讲比赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： （1）根据图示求出表中的a、b、c的值． 平均数 中位数 众数 八（1）班 a 85 c 八（2）班 85 b 100 ______，______，______． （2）请你帮助评委老师分别计算出两班复赛成绩的方差和； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，你认为哪个班级的复赛成绩较好？ 29. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $