精品解析：湖北省襄阳市第四中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

襄阳四中2025级高二上学期10月质量检测 数 学 试 题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得. 【详解】设所求点的坐标为， 根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数， 则有，故该点为. 故选：B. 2. 直线，，若与只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得直线与相交，结合直线的方程分析可得，变形可得，即可得答案． 【详解】若与只有一个公共点，则与相交， 又直线，， 则，即. 故选：B 3. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 4. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 6. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 7. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 8. 如图，已知三棱锥，其中平面，，是边长为2的正三角形．已知为棱（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过平面与平面反射后重新回到点，则光线经过的路径长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由光线反射的特征，得平面平面，平面平面，进而点在上，点在上，利用对称性，用坐标法求光线经过的路径长度的取值范围. 【详解】如图，设光线从点出发，依次经过平面的点与平面的反射后重新回到点，根据光线反射的特征可知，平面平面，平面平面 设的中点为，则点在上，点在上. 因为为中点，是正三角形，所以，又平面， 所以平面，平面，平面， 平面平面，平面平面.下面计算三角形的周长. 因为是边长为2的正三角形，， 如图建立平面直角坐标系，则，，设，，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，设. 直线的方程为，因关于直线的对称点， ，解得，. 所以（当且仅当共线时等号成立） ，且. 所以，即，所以光线经过的路径长度的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 10. 关于下列命题，正确的是（ ）． A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆，直线，则直线l与圆M相交或相切 C. 已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是2 D. 设直线系，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一般方程表示圆和点列不等式组可解出实数的取值范围，可判断A选项；计算圆心到直线的距离的取值范围，可判断B选项；找出当切线、的长取得最小值时点的位置，计算出的长，并计算出此时四边形的面积，可判断C选项；由直线系方程可知，中所有直线都是定圆的切线，易知中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断D选项. 【详解】A选项：点在圆外，即， ，， ∴或.又∵，即， ∴，∴或.A选项错误； B选项，直线过原点，圆的圆心的坐标为，且，所以圆心到直线的距离，则直线l与圆M相交或相切，B选项正确； C选项，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为， 圆心到直线的距离为， ∴，则， 四边形的面积的最小值为，C选项正确； D选项，直线系的方程为，由于点到直线的距离为，直线系中所有的直线都是圆的切线，如下图，中的直线所能围成的正三角形和面积不相等，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（ ） A. C的短轴长为 B. 四边形的周长为8 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证. 【详解】选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误； 选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以， 则四边形的周长为，B正确； 选项C，由选项B，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确； 选项D，设，则，，， 所以，， 又， 所以，故，D正确． 三、填空题 12. 在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 【答案】## 【解析】 【详解】8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011中， 统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组是，共三组， 所以若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为. 13. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，求出直线和半圆相切时的斜率，结合交点个数可求答案. 【详解】整理可得，直线恒过点， 如图， 设直线是过且与半圆相切的直线，则，解得或（舍）， 因为直线与曲线有两个交点，所以k的取值范围为. 故答案为： 14. 若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质可确定，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入等式即可构造方程求得结果. 【详解】设，，则，， 以线段为直径的圆经过坐标原点，， 由得：， ，即， ，， ， ，解得：（满足）， 的值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【小问1详解】 由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 16. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】（1）， （2），和 【解析】 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. 【小问2详解】 结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 17. 现有、两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．箱有2个红球，1个白球；箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从箱取一球，乙从箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下：若两人取出的球颜色相同：各得2分；若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 （1）设第一轮游戏甲与乙得分的差为，求的所有可能值及时对应的概率； （2）若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利，求时乙获得最终胜利的概率． 【答案】（1）的所有可能取值为，，. （2） 【解析】 【详解】（1）根据题意可知的所有可能取值为，，.可得. （2）设两轮得分总差为，那么的可能取值为，，，，， 若时乙获得最终胜利，则， 而，，， 故． 18. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为 （2） （3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据定义求得直线的方向向量及直线上一个点，再说明该点在直线上，根据两直线的方向向量求得平面法向量，再结合点坐标即可求解平面的方程； （3）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解相邻两个面所在平面夹角的余弦值，由四棱锥的体积公式即可求解体积． 【小问1详解】 因为直线的方程为，即， 可得直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为． 【小问2详解】 直线的方程为，即， 可知直线过点，直线的一个方向向量， 因为， 所以直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点， 设平面的法向量为， 则，令，则，可得， 所以平面的方程为，即． 【小问3详解】 由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点， ，如图所示， 可知四边形为正方形，边长， 所以正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以多面体的体积为， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值； （2）首先利用点的坐标表示直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，求点和点的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解； （3）一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得关于的关系式，利用基本不等式得最值即可得结论. 【小问1详解】 设，，， ， 当时，的最小值为； 【小问2详解】 ，与椭圆：联立， ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理为，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； 【小问3详解】 由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 在直线上四点满足：, 由，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025级高二上学期10月质量检测 数 学 试 题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 直线，，若与只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知三棱锥，其中平面，，是边长为2的正三角形．已知为棱（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过平面与平面反射后重新回到点，则光线经过的路径长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 10. 关于下列命题，正确的是（ ）． A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆，直线，则直线l与圆M相交或相切 C. 已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是2 D. 设直线系，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（ ） A. C的短轴长为 B. 四边形的周长为8 C. 的最小值为 D. 三、填空题 12. 在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 13. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 14. 若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____． 四、解答题 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 16. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 17. 现有、两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．箱有2个红球，1个白球；箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从箱取一球，乙从箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下：若两人取出的球颜色相同：各得2分；若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 （1）设第一轮游戏甲与乙得分的差为，求的所有可能值及时对应的概率； （2）若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利，求时乙获得最终胜利的概率． 18. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $