2.3 等腰三角形的性质定理 同步课时练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第2章　特殊三角形

2.3　等腰三角形的性质定理　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 掌握等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，会用它求等腰三角形的内角；

2. 知道等边三角形的各个内角都等于 60°，会用它作相关计算；

3. 掌握等腰三角形三线合一的性质，能用它证明线段相等、直线垂直与平行，并会用直尺和圆规按给定底边与高作等腰三角形。

【知识梳理】

一、等腰三角形的性质定理1

◆  任意画一个等腰三角形，通过折叠或测量可以发现：它的两个底角相等。

◆  性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角。

◆  已知：如图1，在 △ABC 中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C。

图1　AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D

◆  证明：作 △ABC 的角平分线 AD。在 △ABD 与 △ACD 中，因为 AB＝AC（已知），∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），AD＝AD（公共边），所以 △ABD≌△ACD（SAS），所以 ∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）。

◆  这个定理也可以根据等腰三角形的轴对称性来说明：沿顶角平分线把图形对折，点 B 与点 C 重合，∠B 与 ∠C 也就重合。

◆  「等边对等角」成立的前提是这两条边在同一个三角形中，两个三角形之间的边相等推不出角相等。

二、等边三角形的内角

◆  在等边三角形 ABC 中，因为 AB＝AC，所以 ∠B＝∠C；同理 ∠A＝∠B。于是 ∠A＝∠B＝∠C。

◆  又因为 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以 ∠A＝∠B＝∠C＝60°。

图2　等边三角形的每个内角都是 60°

◆  推论：等边三角形的各个内角都等于 60°。

三、等腰三角形的性质定理2（三线合一）

◆  如图3，在 △ABC 中，AB＝AC，AD 是顶角的平分线。由 △ABD≌△ACD 得 BD＝CD，∠ADB＝∠ADC；又 ∠ADB＋∠ADC＝180°，所以 ∠ADB＝∠ADC＝90°。即 AD 既是底边上的中线，又是底边上的高线。

图3　AD 是顶角平分线，也是底边上的中线与高线

◆  性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。

◆  三线合一的用法：在等腰三角形中，只要知道这三条线中的一条，就可以推出另外两条。这个结论反过来用也成立，但要注意前提是「同一个三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线」。

四、用直尺和圆规作等腰三角形

◆  已知底边 a 和底边上的高 h，作等腰三角形 ABC。由三线合一，底边上的高也是底边上的中线，所以顶点 A 一定在 BC 的垂直平分线上。

◆  作法：① 作线段 BC＝a；② 作 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D；③ 在 l 上截取 DA＝h，连结 AB，AC。△ABC 就是所求作的等腰三角形。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）如图4，在 △ABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 的延长线上。若 ∠ACD＝100°，则 ∠A 的大小为（　　）

A. 20°　　B. 40°　　C. 50°　　D. 80°

图4　AB＝AC，点 D 在 BC 的延长线上

2.（5分）已知等腰三角形的顶角是底角的 2 倍，则这个三角形的顶角是（　　）

A. 36°　　B. 45°　　C. 90°　　D. 120°

3.（5分）如图5，AD，BE 是等边三角形 ABC 的两条角平分线，AD，BE 相交于点 O，则 ∠AOB 的度数为（　　）

A. 90°　　B. 120°　　C. 135°　　D. 150°