2.7 探索勾股定理同步课时练2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第2章　特殊三角形

2.7　探索勾股定理　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解勾股定理，知道它的条件和结论，会用勾股定理求直角三角形的第三边；

2. 会在实际问题中构造直角三角形，用勾股定理求线段的长；

3. 理解勾股定理的逆定理，会用两边的平方和与最长边的平方比较来判断一个三角形是不是直角三角形。

【知识梳理】

一、勾股定理

◆  教材用四个全等的直角三角形纸片探索直角三角形三边的关系：把这四个三角形放入一个边长为 c 的正方形中，拼成一个新的图形。设三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，用两种不同的方法表示这个新图形的面积，比较后就能得到三条边之间的关系。

◆  如图1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别记作 a，b，c。

图1　∠C＝90°，两条直角边为 a，b，斜边为 c

◆  一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。

◆  如果 a，b 为直角三角形的两条直角边的长，c 为斜边的长，那么

◆  我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，所以这一性质也叫作勾股定理。

◆  用勾股定理求第三边，先要认清哪一条边是斜边。斜边是直角所对的边，它的平方等于另外两条边的平方和。已知两条直角边求斜边，用加法；已知斜边和一条直角边求另一条直角边，用减法。

二、勾股定理的逆定理

◆  把勾股定理的条件与结论交换，得到它的逆命题：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

◆  这个逆命题是真命题，叫作勾股定理的逆定理。

◆  判断一个三角形是不是直角三角形，先把最长边找出来，再算另外两条边的平方和，与最长边的平方比较：相等就是直角三角形，不相等就不是。

◆  例如三边长分别为 5，12，13 的三角形，因为 5²＋12²＝25＋144＝169＝13²，所以它是直角三角形；三边长分别为 5，7，8 的三角形，因为 5²＋7²＝74，而 8²＝64，两者不相等，所以它不是直角三角形。

◆  勾股定理由「有一个角是直角」推出「两边的平方和等于第三边的平方」，逆定理由「两边的平方和等于第三边的平方」推出「有一个角是直角」，两者的条件和结论正好相反。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，则下列关系式正确的是（　　）

A. a²＋b²＝c²　　B. a²＝b²＋c²

C. b²＝a²＋c²　　D. a＝b＋c

2.（5分）如图2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则 BC 的长是（　　）

A. 8　　B. 10　　C. 12　　D. 18

图2　∠C＝90°，AC＝5，AB＝13

3.（5分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）

A. 1，2，3　　B. 2，3，4

C. 3，4，5　　D. 4，5，6

4.（5分）如图3，一架长 5 m 的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子的底端 B 到墙脚 C 的距离为 3 m，则墙高 AC 为（　　）

A. 3 m　　B. 4 m

C. 5 m　　D. 6 m

图3　梯子 AB 长 5 m，底端 B 到墙脚 C 的距离为 3 m

5.（5分）如图4，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BD＝5，AD＝12，AC＝15，则 BC 的长是（　　）

A. 9　　B. 14　　C. 19　　D. 24

图4　AD⊥BC 于点 D，BD＝5，AD＝12，AC＝15

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.（5分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，则 c＝______。

7.（5分）若一个三角形的三边长分别为 8，15，17，则这个三角形最大的内角的度数是______。