2.7 探索勾股定理（2）课时练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，通过基础判断、中档综合到提升应用的三层设计，构建“概念理解-运算推理-实际应用”的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一勾股定理逆定理应用|单选1-5直接判断三角形类型，强化抽象能力| |中档|结合几何性质综合应用|单选6-10结合垂直平分线等，培养推理意识| |提升|实际情境与跨知识整合|解答18-19联系实际问题与网格作图，发展应用意识|

2.7 探索勾股定理（2）课时练习 一、单选题 1.判断以下各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（    ） A. 6，15，17                       B. 7，12，15                       C. 13，15，20                       D. 7，24，25 2.下列说法不能得到直角三角形的（    ） A. 三个角度之比为 1：2：3 的三角形                     B. 三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C. 三个边长之比为 8：16：17 的三角形                 D. 三个角度之比为 1：1：2 的三角形 3.下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A. △ABC中,∠A=∠B-∠C                                B. △ABC中,a:b:c=1:2:3 C. △ABC中,a2=c2-b2                                    D. △ABC中,三边的长分别为m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0) 4.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是（    ） A. 锐角三角形                         B. 直角三角形                         C. 钝角三角形                         D. 不确定 5.已知三角形三边的长分别为3、2、 ，则该三角形的形状是（    ） A. 锐角三角形                        B. 直角三角形                        C. 钝角三角形                        D. 无法确定 6.如图，已知 中， 的垂直平分线分别交 于 连接 ，则 的长为（    ） A.                                          B.                                          C.                                          D.  7. 的三边分别为a，b，c，下列条件：① ；② ；③ .其中能判断 是直角三角形的条件个数有    A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个 8.在四边形 中， ，若 ，则 的大小为（     ） A.                                     B.                                     C.                                     D.  9. 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（  ） A.  是等腰直角三角形且         B.  是直角三角形或等腰三角形 C.  是直角三角形，且             D.  是直角三角形，且 10.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题的大意是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里；12里；13里，问这块沙田面积有多大？题中的1里=0.5千米，则该沙田的面积为（   ） A. 3平方千米                      B. 7.5平方千米                      C. 15平方千米                      D. 30平方千米 二、填空题 11.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 | |=0，则△ABC的形状是________． 12.一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为________． 13.如图所示的网格是正方形网格，则 ________ （点 、 、 、 、 是网格线交点）． 14.在△ABC 中，若 ，则最长边上的高为________． 15.已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4 ， 那么它的形状是________． 三、解答题 16.如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，求 的长． 17.如图，四边形 中， ， ， ， ，且 ，求四边形 的面积． 18.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A,B,其中 ，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D(A、D、B)在同一条直线上)，并新修一条路CD，测得 千米， 千米， 千米. （1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线 的长. 19.在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH（线段端点在格点上）， （1）选取其中三条线段，使得这三条线段能围成一个直角三角形. 答：选取的三条线段为________. （2）只变动其中两条线段的位置，在原图中画出一个满足上题的直角三角形（顶点仍在格点，并标上必要的字母）.________ 答：画出的直角三角形为△________. （3）所画直角三角形的面积为________. 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：勾股定理的逆定理 解：A.因为62＋152≠172,所以以6，15，17为边的三角形不是直角三角形,故A不符合题意; B.因为72＋122≠152,所以以7，12，15为边的三角形不是直角三角形,故B不符合题意; C.因为132＋152≠202,所以以13，15，20为边的三角形不是直角三角形,故C不符合题意 D.因为72＋242＝252,所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形,故D符合题意; 故答案为：D. 分析：根据勾股定理的逆定理逐一判断即可. 2. C 考点：勾股定理的逆定理 解：A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形； C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形 D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形； 故答案为：C 分析：三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系. 3. B 考点：勾股定理的逆定理 解： A、∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，则为直角三角形； B、当三边比值为1:2:3时，则无法构成三角形； C、根据题意可知： ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形；D、根据题意可知 ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形. 故答案为：B ． 分析：对于直角三角形的判定我们可以从角的方面去判断，也可以利用勾股定理的逆定理来进行判断. 4. B 考点：勾股定理的逆定理 解：设原来的直角三角形的三边长为a，b，c， ∴ ， 直角三角形各边长都缩小或扩大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0）， ∴ ， 即以ka，kb，kc为边长的三角形是直角三角形. 故答案为：B. 分析：设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，由勾股定理得 ，再根据条件和勾股定理的逆定理，即可得到结论. 5. B 考点：勾股定理的逆定理 解： ， 该三角形是直角三角形， 故答案为： . 分析：两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形. 6. C 考点：线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理 解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴ , ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴ , 解得CD= ， 故答案为：C. 分析：先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 7. D 考点：三角形内角和定理，勾股定理的逆定理 解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形； ②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2 ， ∴a2+c2＝b2 ， ∴△BAC是直角三角形； ③∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵a2+b2＝25k2 ， c2＝25k2 ， ∴a2+b2＝c2 ， ∴△ABC是直角三角形； 故答案为：D. 分析：根据三角形的内角和定理即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②和③，由此即得答案. 8. C 考点：勾股定理，勾股定理的逆定理 解：连接AC， ∵AB=BC=1，∠B=90° ∴AC= ， 又∵AD=2，DC= ， ∴( )2=22+( )2 ， 即CD2=AD2+AC2 ， ∴∠DAC=90°， ∵ ， ∴∠ACD=90°-α， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α. 故答案为：C. 分析：连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，进而可求出∠BCD的度数. 9. D 考点：勾股定理的逆定理 解：∵ ∴ ∴ 是直角三角形，且 故答案为：D 分析：将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可 10. B 考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理 解：因为 ，所以该三角形为直角三角形. 则两直角边为较短的两边，即为5和12，即为2.5千米和6千米. 所以三角形的面积为：2.5×6÷2=7.5（平方千米） 故答案为：B. 分析：根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边为5和12，由1里=0.5千米，可得两直角边分别为2.5千米和6千米，利用三角形的面积公式计算即可. 二、填空题 11. 等腰直角三角形 考点：勾股定理的逆定理，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性 解：∵ | |=0， ∴ ，| |=0， ∴ 且c=a ∴△ABC为等腰直角三角形 故答案为：等腰直角三角形． 分析：利用二次根式被开方数和绝对值的非负性求得 ，| |=0，从而得到 且c=a，从而进行判断． 12. 150cm2 考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理 解：由题意，设这个三角形的三边长分别为 由其周长得： 解得 则这个三角形的三边长分别为 这个三角形是直角三角形，且斜边长为 则其面积为 故答案为： ． 分析：先求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式即可得． 13. 45 考点：平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理 解：如图所示作辅助线，点F、H均在格点上，设一小格为1， 由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝ ，AC＝ ， ∴AH2＋CH2＝AC2 ， ∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°， 又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1， ∴△AFH≌△CDE， ∴∠FAH＝∠DCE， ∵AF∥BC， ∴∠FAC＝∠ACB， ∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°， 故答案为：45． 分析：如图作辅助线，证明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根据平行线的性质求出∠FAC＝∠ACB，将∠ACB－∠DCE转化为∠FAC－∠FAH＝∠HAC进行计算即可． 14. 考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理 解：∵ ， 将两个方程相加得： ， ∵a＞0， ∴a=4 代入得： ， ∵b＞0， ∴b=3， ∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理， ∴△ABC是直角三角形， 如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，  ， 即： ， 解得：CD= ， 故答案为： . 分析：解方程 可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高. 15. 直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 考点：因式分解的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理 解：∵a2c2-b2c2=a4-b4 ， ∴c2（a2−b2）＝（a2＋b2）（a2−b2）， 移项得：c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0， 因式分解得：（a2−b2）[c2−（a2＋b2）]＝0， 则当a2−b2＝0时，a＝b；当a2−b2≠0时，a2＋b2＝c2； 所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 分析：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形． 三、解答题 16. 解：连接DB，在△ACB中， ∵AB2＋AC2＝62＋82＝100， 又∵BC2 ＝102 ＝100， ∴AB2＋AC2＝BC2 ． ∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°， ∵DE垂直平分BC， ∴DC＝DB， 设DC＝DB＝x，则AD＝8−x． 在Rt△ABD中，∠A＝90 ，AB2＋AD2＝BD2 ， 即62＋（8−x）2＝x2 ， 解得x＝ ， 即CD＝ ． 考点：线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理 分析：连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8−x．根据勾股定理即可得到结论． 17. 解：如下图，连接AC ∵AB=3，BC=4，∠B=90° ∴在Rt△ABC中，AC=5 ∵DC=12，AD=13 又∵ ∴△ACD是直角三角形 ∴ 考点：三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理 分析：如下图，连接AC，可判断△ABC和△ACD是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可得． 18. （1）解：（1）结论：CD是从村庄C到河边最近的路. 理由： ∵在 中， 千米， 千米， 千米 ∴ ，即 ∴ 是直角三角形 ∴ ∴ ∴CD是从村庄C到河边最近的路. （2）设 千米，则 千米， 千米 ∵在 中，由勾股定理得： ∴ ∴ 答：原来的路线BC的长为8.45千米. 考点：勾股定理，勾股定理的逆定理 分析：（1）结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解；（2）设 千米，则 千米、 千米，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可. 19. （1）AB、EF、GH （2）；MGH （3）5 考点：勾股定理，勾股定理的逆定理 解：（1）由图可知AB=5,CD= ,EF= ,GH= , ∴ ,即 , ∴由AB,EF,GH可组成直角三角形. （ 2 ）如图，三角形MGH即为所示. 如图，可画直角三角形MGH. （ 3 ） = =5 分析：（1）根据勾股定理及网格特点分别求出AB，CD，EF，GH的长，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可. （2）利用（1）结论进行画图即可. （3）根据三角形的面积公式计算即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $