2.8 直角三角形全等的判定 同步课时练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第2章　特殊三角形

2.8　直角三角形全等的判定　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 掌握直角三角形全等的判定定理「斜边、直角边」，知道它成立的理由；

2. 会选用 HL、SAS、ASA、AAS、SSS 判定两个直角三角形全等，并能写清每一步的依据；

3. 会用 HL 证明两条线段相等、两个角相等，并由此得到角平分线性质定理的逆定理。

【知识梳理】

一、判定两个直角三角形全等

◆  两个直角三角形已经有一组相等的角（都是直角），所以一般三角形全等的判定方法对它们仍然适用：SAS、ASA、AAS、SSS。

◆  但「有两条边和一个角分别相等」对一般三角形不能判定全等，因为 SAS 要求相等的角是这两条边的夹角。在直角三角形中，若相等的角是直角，而直角并不是那两条边的夹角，这时两个三角形不一定全等。

◆  把相等的角换成直角，结论就成立了。教材用叠合的方法得到下面这个判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成「斜边、直角边」或「HL」。

◆  如图1，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF，那么 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。

图1　∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF

◆  用 HL 时要看清三件事：两个三角形都是直角三角形；相等的是一组斜边和一组直角边；斜边是直角所对的边，不要与直角边混淆。

二、角平分线性质定理的逆定理

◆  1.7 学过角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。把它的条件与结论交换，得到：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

◆  这个逆命题是真命题。证明的思路是：作射线 OP，由 PD⊥OA，PE⊥OB 得∠PDO＝∠PEO＝90°；又 OP 是公共斜边，PD＝PE，所以 Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），从而 ∠DOP＝∠EOP，即 OP 平分 ∠AOB。

◆  于是要证明一个点在角的平分线上，只要证明这个点到角两边的距离相等，不必再去证两个角相等。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，则下列条件中不能判定这两个三角形全等的是（　　）

A. AC＝DF，BC＝EF　　B. ∠A＝∠D，AB＝DE

C. AB＝DE，AC＝DF　　D. ∠A＝∠D，∠B＝∠E

2.（5分）如图2，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF。要用「HL」判定 Rt△ABC≌Rt△DEF，还需添加的条件是（　　）

A. BC＝EF　　B. ∠A＝∠D

C. AB＝DE　　D. ∠B＝∠E

图2　∠C＝∠F＝90°，AC＝DF

3.（5分）下列说法中，正确的是（　　）

A. 有两条边和一个角分别相等的两个三角形全等

B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等

C. 两个直角三角形中，只要有一条直角边相等，它们就全等

D. 有两条边分别相等的两个直角三角形全等

4.（5分）如图3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。若 BC＝8，BD＝5，则 DE 的长是（　　）

A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 8

图3　∠C＝90°，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB

5.（5分）如图4，AB⊥BC 于点 B，AD⊥DC 于点 D，AB＝AD＝3，BC＝4，则 CD 的长是（　　）

A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 无法确定

图4　AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.（5分）已知 Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°，若 AC＝6，BC＝8，则 DE＝______。

7.（5分）如图5，OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。若 PD＝3，则 PE＝______；若 ∠AOB＝50°，则 ∠AOP＝______°。

图5　OP 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB