2.8 直角三角形全等的判定 同步分层练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从直角三角形全等判定基础应用到综合推理，梯度合理，适配新授课知识巩固与核心素养中推理能力、几何直观的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|HL判定、角平分线性质等单一知识点|选择填空为主，直接考查定理应用，如第1-3题聚焦HL条件辨析| |能力提升|HL与勾股定理、作图等综合|解答题占比高，需推理计算，如第17题结合角平分线作图与面积计算| |拓展创新|变式应用与实际情境|含探究性问题，如第19题通过构造全等解决面积和问题，培养创新意识|

2.8 直角三角形全等的判定 同步分层练习 一、夯实基础： 1．如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（　　） A． B． C． D． 3．如图，最适合用“HL”定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（　　） A．AC=DF，BC=EF． B．∠A=∠D，AB=DE． C．AC=DF，AB=DE． D．∠B=∠E，BC= EF． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（　　） A．DA平分∠EDF B．AE=AF C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等 D．AB，AC上的点到AD的距离相等 5．如图，在中，于点.如果，那么（　　） A． B． C． D． 6．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D.若要根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是　 　.(写一种即可) 8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是　 　. 9．下列命题中逆命题是真命题的是　 　.（写序号） （ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； （ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等； （ 3 ）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ； （ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. （ 5 ）全等三角形的面积相等. 10．如图， 已知 ， 点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 ， 求证： . 请补全证明过程， 并在括号里写上理由. 证明： ， ∴∠FED= ▲ =90° ∵AE=DB， ∵AE+ ▲ = ▲ +BD， 即AB=DE. 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ） ∴∠A= ▲ ∴GA=GD（ ▲ ） 二、能力提升： 11．用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 13．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 14．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作于点，作于点，若，下面三个结论：①AS；②；③，其中，正确的是　 　.(填序号) 15．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为　 　． 16．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是　 　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm． （1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）计算△ABD的面积． 18．如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD. （1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC. （2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由. 三、拓展创新： 19．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理. （1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=　 　. （2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°. 求证：AD平分∠BAC. （3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD. 求△BDE和△CDF的面积和. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：因为 所以 ∴，均为直角三角形， 根据已知条件知道已经有一条直角边， 则还需要补充斜边相等即可， 即需要：，故D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案. 2．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 3．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：在 Rt△ABC和Rt△DEF 中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）. 故答案为：C. 【分析】要用“HL” 定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等 ，只需两个直角三角形中的直角边与斜边对应相等. 4．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）. ∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确； ∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF． 故B正确； ∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确. 因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误. 故答案为：D. 【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立； （2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF； （3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等. 5．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°， ∴∠C=∠BDE=90°， 在Rt△BDE与Rt△BCE中， ∵DB=CB，BE=BE， ∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）， ∴CE=ED， ∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm. 故答案为：B. 【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△BCE，由全等三角形对应边相等得CE=ED，进而根据线段的和差及等量代换将AE+DE转化为AC，此题得解. 6．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意； ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE， ∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意； 在Rt△POD与Rt△POE中 ∵OD=OE，OP=OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE（HL）， ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意； 在Rt△POD与Rt△POE中， ∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS） ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可. 7．【答案】AC=BD或BC=AD 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：若添加 AC=BD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL） 若添加 BC=AD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL） 故答案为：AC=BD或BC=AD. 【分析】两个直角三角形全等可以通过斜边和一条直角边对应相等得到. 8．【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 【知识点】角平分线的判定 【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线. 故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【分析】根据角平分线的判断定理即可证明. 9．【答案】（1）、（2）、（4） 【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定 【解析】【解答】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（3）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ，逆命题是若三条线段 满足 ，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题； 故答案为：（1）（2）（4） 【分析】先分析各命题的题设和结论，再根据逆命题的定义“对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题”写出各个命题的逆命题，再根据已有的知识判断真假即可. 10．【答案】证明：∵FE⊥AD， CB⊥AD， ∴∠FED= ∠CBA =90°． ∵AE=DB， ∴AE+BE =BE +BD， 即AB=DE． 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF ( HL)， ∴∠A=∠D ， ∴ GA=GD (在同一个三角形中，等角对等边 )． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】利用HL证△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，结合等角对等边即可得到结论. 11．【答案】D 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP ∴( ) ∴∠AOP=∠BOP 故答案为：D. 【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断 12．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D， 由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线， ∵EC⊥AC，ED⊥AB， ∴EC=ED=3， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴AC=AD， ∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5， ∴BD=4， 设AC=x，则AB=4+x， 故在Rt△ACB中， AC2+BC2=AB2， 即x2+82=（x+4）2， 解得：x=6， 即AC的长为：6. 故答案为：C. 【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可. 13．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故答案为：C. 【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可． 14．【答案】①② 【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定 【解析】【解答】解：连结AP，如图， ∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴∠PRA=∠PSA=90°， 在Rt△APR与Rt△APS中， ∵PR=PS，AP=AP， ∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AS=AR，故①正确； ∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC， ∴AP是∠BAC的平分线， ∴∠BAP=∠CAP， ∵AQ=PQ， ∴∠QAP=∠QPA， ∴∠BAP=∠QPA， ∴PQ∥AR，故②正确； ∵BC只是过点P，并没有固定， 明显△BRP≌△CSP不一定成立，故③错误， 综上正确的有①②. 故答案为：①②. 【分析】可直接用HL判断出Rt△APR≌Rt△APS，由全等三角形对应边相等得AS=AR，据此可判断①；由到角两边距离相等得点在这个角的角平分线上得AP是∠BAC的平分线，则∠BAP=∠CAP，由等边对等角得∠QAP=∠QPA，则∠BAP=∠QPA，由内错角相等，两直线平行，得PQ∥AR，据此判断②；BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP不一定成立，据此判断③. 15．【答案】6.5 【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H， ∵AD是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为27和14， ∴，即， ∴． 故答案为：6.5. 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解. 16．【答案】1 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 17．【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求； （2）解：∵ ∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB==10cm， 过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90° ∴CD=DE， ∵∠ACB＝∠DEA＝90°，AD=AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL） ∴AE=AC =8cm， ∴BE=AB-AE=10-8=2， 设CD=DE=x，则BD=6-x， 在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2， ∴x2+22=（6-x）2， 解得x= ∴ △ABD的面积=AB·DE=×10×=． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出∠BAC的平分线即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB=10，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）可得AE=AC =8cm，BE=2，设CD=DE=x，则BD=6-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DE的长，再利用△ABD的面积=AB·DE进行计算即可. 18．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB ∴∠C=∠DEA=90° ∵BD平分∠ABC ∴DE=CD. 又∵DF=AD. ∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL). （2）解：AB=BF+2CF ∵Rt△ADE≌Rt△FDC， ∴CF=AE. ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD 由题知可∠C=∠DEB=90° ∵BD=BD. ∴△EBD≌ △CBD. ∴BE=BC. ∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF ∴AB=BF+2CF 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL 【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD= DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC； (2)根据全等三角形的性质定理得到BE=BC，根据(1)的结论得到答案. 19．【答案】（1）1 （2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F， ∵∠ABD+∠ACD=180° ∴∠DCP=∠DBQ ∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90° ∴△DCP≌△DBQ（AAS） ∴DP=DQ ∵DP⊥AC，DQ⊥AB ∴AD 平分∠EAB （3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G ∵AB=AC ，D 为 BC 的中点 ∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC ∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC ∴DH=DG ∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC ∴△DHE≌△DGF（AAS） ∴DE=DF 可证△BDH≌△CDG 由 可得 和 的面积和 的面积 . 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1 . 故答案为：1. 【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等. (2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB. (3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $