精品解析：陕西汉中市龙岗中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 3. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 4. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 已知如图，则下列四个三角形中与相似的是(　　) A. B. C. D. 8. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么_______． 12. 已知，且，则的值为__________． 13. 如果，那么k的值为______________． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 15. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 16. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为______． 三、解答题（共8小题，共69分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，已知，为钝角，．请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 22. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，为的中点，连接，则与的位置关系是______． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品有机蔬菜，并在处设立蔬菜仓库．点和点为基地的两个蔬菜打包装运点，在上且，现要沿、修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道的最小值．并求出当最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：选项A的方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项B的方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项C中的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； 选项D中的方程是一元二次方程． 2. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 故选：B． 3. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 4. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．解题的关键是熟知根的判别式的运用． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即：， 解得：， ∵关于x的一元二次方程中， 则k的取值范围是且． 故选：D． 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 已知如图，则下列四个三角形中与相似的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据顶角相等或底角相等的两个等腰三角形相似，即可求解． 【详解】解：是底角为，顶角为的等腰三角形，要与之相似必定也是顶角为，底角为的等腰三角形，只有C选项符合． 故选C． 8. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 9. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质得到两三角形高的比等于相似比，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴， ∴， ∵△DFE和△DAE同底 ∴ 又∵， ∴．  故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的高的比等于相似比是解题的关键． 10. 如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造辅助线充分利用的条件，再结合利用相似三角形列方程． 【详解】 过点F作，交、于点M、N， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由可得四边形为矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴在中，由勾股定理得，即． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 已知，且，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 【详解】解：∵， ∴设a=6x，b=5x，c=4x， ∵a+b-2c=6， ∴6x+5x-8x=6， 解得：x=2， 故a=12． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 13. 如果，那么k的值为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用等比性质，先把原式变形得到，三式相加，分和两种情况讨论，分别算出k的值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，，解得； 当时，，， 综上所述，k的值为或． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 15. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  16. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用正方形对边平行和是中点，证明，得到是中点，算出、，勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出． 【详解】解：连接，并延长交于点， ∵ 四边形是正方形，， ∴ ，， ∵ 点，分别是边，的中点， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ 点是的中点， ∴ ， 在和中 ， ∴ ， ∴ ，， ∴ 是的中点， ∴ ， 在中，， 由勾股定理得： ， ∵ 点是的中点，点是的中点． ∴ 是的中位线． ∴ ． 三、解答题（共8小题，共69分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）对二次三项式 因式分解成 ，利用两个因式乘积为 0 则至少一个因式为 0 求出方程的解． （2）确定一元二次方程中 ，先计算判别式等于 5，再代入求根公式得到方程的两个根． （3）把 用平方差公式分解因式，得到 ，再分别令每个因式等于 0 求出解． （4）先把左边展开、移项化成标准形式 ，确定 ，算出判别式等于 53，代入求根公式得到方程的根． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得 或 ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【小问3详解】 解：， 由平方差公式，得 整理，得 ， 或 ， ． 【小问4详解】 解：， 去括号，得 ， 移项整理，得 ， ， ， ， ． 18. 如图，已知，为钝角，．请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】点P即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点P即可． 本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 点P即为所求． 由题可知：, , ∵， , ∵, ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质可得，从而得是的中位线，推出，又由平行四边形的定义可得四边形是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形． （2）证明，即可由对应线段成比例求出的长，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，即，， 由（1）知四边形是矩形， ． ， ， ． 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 21. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）100+200x；（2）1 【解析】 【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论． 【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元， 则每天的销售量是100+×20=100+200x斤； 故答案为：100+200x； （2）根据题意得：， 解得：x=或x=1， ∵每天至少售出260斤， ∴100+200x≥260， ∴x≥0.8， ∴x=1． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 22. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 、， ， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 【答案】（1）当时，的面积为9 （2）或时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、相似三角形的性质在动态几何中的应用．抓住动点的运动起点、运动方向和运动速度是解题关键． （1）根据题意分别表示出，即可建立一元二次方程求解； （2）根据，分类讨论和两种情况即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意知：， ∵的面积为9， ∴， 解得：， 即当时，的面积为9 【小问2详解】 解：∵， ∴与相似时，有和两种情况， ①当时，，解得： ②当时，时，解得： 当或时，与相似． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，为的中点，连接，则与的位置关系是______． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品有机蔬菜，并在处设立蔬菜仓库．点和点为基地的两个蔬菜打包装运点，在上且，现要沿、修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道的最小值．并求出当最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， 为中点， ， 又， ． ，， ，． ． 同理，可得，， ． ，即， 又， ． （3）最小值为，有机蔬菜种植区域的面积为 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可以确定与垂直； （2）连接，由，为中点可推出，进而求出的度数，根据直角三角形角所对的直角边为斜边的一半得到，同理得到，再由推出，从而证得； （3）取的中点，连接，过作交于点，过点作交于点．根据正方形的性质得到和是等腰直角三角形，又由于是等腰直角三角形，故可以通过两边对应成比例和夹角相等，证得，同理，证得，从而证明点在上运动．由于，故可以将转化为，根据两点之间线段最短，当点运动到线段上时，即三点共线时，取得最小值．结合已知条件，求出，的长，利用勾股定理求得．最后，由列出平行线分线段成比例的关系式，求出取得最小值时的长，即可进一步求出的面积． 【小问1详解】 解：， 为等腰三角形， 又为的中点， 根据等腰三角形三线合一，是的中线，也是的高， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，过作交于点，连接，，过点作交于点． 四边形为正方形， ,， 是等腰直角三角形， ． 又是的中点， 为的中线，， 根据三线合一，， ，是等腰直角三角形， 又， 是等腰直角三角形， ． 是等腰直角三角形， ． ， ，即， 又在和中，，， ， ， ， 同理，，， ， ， ， ． 点落在上，即当点在上运动时，点在上运动． ， 根据三线合一，是的中线， ， 垂直平分， ， ． 由两点之间线段最短，当点运动到线段上，即点三点共线时，取得最小值，如图，连接， 正方形边长为，是中点， ， ． ， ，， ． 在中，， 即最小值为． ，， ． ． ． ， 此时，的面积为，即为有机蔬菜的种植区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $