精品解析：陕西安康市汉阴县涧池镇九年制学校2026-2027学年上学期九年级数学期中素养测评卷

2026秋季九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十七章完，P1~P90） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 2. 抛物线（m是常数）的顶点坐标是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数（为常数）的图象经过第一、三象限，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、在抛物线（是常数，且）上．下列选项中错误的是（ ） A. 抛物线一定经过点 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 若，则 D. 若，则抛物线与轴有两个交点 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 10. 用配方法解方程，配方得到，则的值为_____． 11. 设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 12. 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为______． 14. 已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 17. 已知二次函数的最大值为5，求a的值． 18. 已知，，当m为何值时． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积． 20. 某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间是反比例函数关系，且当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若该运输公司每天可运送土石方，求完成全部运输任务需要多少天？ 21. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求的值，并写出抛物线的解析式； （2）已知点在该抛物线上，将点向右平移6个单位长度后得到点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标． 22. 摩天轮作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．某实体店销售一款摩天轮模型．该摩天轮模型的进价为每件元，当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该摩天轮模型每件的售价每降低1元，每天的销量可增加4件，为配合文化节的推广，商家决定进行降价促销，同时尽快减少库存，若要使每天销售这种模型获利元，售价应降低多少元？ 23. 已知二次函数． （1）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，并在图中画出函数的大致图象； （2）根据图象回答：取何值时，？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 25. 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； （2）若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接、、，求四边形的面积； （3）如图2，连接，若P是位于线段所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十七章完，P1~P90） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：D． 2. 抛物线（m是常数）的顶点坐标是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线顶点坐标为， ∴， 解得． 3. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式展开、移项化成的形式即可． 【详解】解：由得：， 即：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键． 4. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得． 5. 反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴两个函数的交点关于原点对称， ∵一个交点为， ∴另一个交点为． 6. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则20个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 根据题意，可列方程为． 故选：C． 7. 已知反比例函数（为常数）的图象经过第一、三象限，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，灵活运用反比例函数图象所在象限与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数的性质得到，进而求出的取值范围，再结合选项选出符合条件的的值． 【详解】反比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 结合选项，只有满足， 故选：． 8. 已知点、在抛物线（是常数，且）上．下列选项中错误的是（ ） A. 抛物线一定经过点 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 若，则 D. 若，则抛物线与轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，在中，当时，，即可判断A；求出对称轴为直线，即可判断B，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D，熟练掌握以上知识点并熟练运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，， 抛物线一定经过点， 故A正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 故B正确，不符合题意； ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，，当时，； 故C错误，符合题意； ， 当时，， ∴与轴有两个交点， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 用配方法解方程，配方得到，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到的值．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为，当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， ， ， ， 又∵用配方法解方程，配方得到， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 11. 设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 12. 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 通过平移抛物线得到新解析式，再求与x轴的交点坐标，利用距离公式计算线段长度． 【详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度，得到新抛物线 ， 令 ，得 ， 解得 ，， 所以点A和点B的坐标分别为  和 ， 则线段的长为 ． 故答案为：3． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的面积性质，熟练掌握反比例函数的几何意义、阴影部分面积与矩形面积的关系是解题的关键． 先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系；再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 点在反比例函数上， ∴ ， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先移项，再提公因式进行解方程即可． 【详解】解： 或， 解得，． 16. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算根的判别式的值得到，根据，则可判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】略 17. 已知二次函数的最大值为5，求a的值． 【答案】a的值为2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元二次方程，解题关键是表示出顶点纵坐标． 根据二次函数的性质求出其最大值的表达式，再据此求解a的值即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为， ∵二次函数的最大值为5， ∴， 解得或， ∵a的值为2或． 18. 已知，，当m为何值时． 【答案】时． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．根据得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， ∴， ∴， 解得 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 令，求出点的坐标为，即，令，求出点的坐标为，点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， 点的坐标为，即， 令，则，解得，， 点的坐标为，点的坐标为， 即， ． 20. 某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间是反比例函数关系，且当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若该运输公司每天可运送土石方，求完成全部运输任务需要多少天？ 【答案】（1） （2）9天 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式． （1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量完成运送任务所需的时间t（天）运输总量，得出函数关系式； （2）把代入反比例函数解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴v与t之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当时， ∴． 答：公司完成全部运输任务需要9天． 21. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求的值，并写出抛物线的解析式； （2）已知点在该抛物线上，将点向右平移6个单位长度后得到点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标． 【答案】（1）10， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：将代入中得：， ， 的值为10，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将点向右平移6个单位长度得到点， 点、之间的距离为6， 点与点关于对称轴直线对称， ∴， ， 将代入中得：． 点的坐标为． 22. 摩天轮作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．某实体店销售一款摩天轮模型．该摩天轮模型的进价为每件元，当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该摩天轮模型每件的售价每降低1元，每天的销量可增加4件，为配合文化节的推广，商家决定进行降价促销，同时尽快减少库存，若要使每天销售这种模型获利元，售价应降低多少元？ 【答案】降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应降低x元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据使每天销售后获利元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设售价降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为尽快减少库存，应选择降价更多、销量更大的方案，故舍去， 答：售价应降低元． 23. 已知二次函数． （1）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，并在图中画出函数的大致图象； （2）根据图象回答：取何值时，？ 【答案】（1）抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为， 函数图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）分别将，代入二次函数的解析式，求出交点坐标，再利用描点法画出函数图象； （2）由图象判断抛物线在轴下方的部分即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为， 函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 25. 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； （2）若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险； 理由如下： 将代入， 可得：， ， 消防喷淋头喷洒时有触电危险． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）根据消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，可知顶点的坐标为，根据米，可知点的坐标为，设抛物线的解析式为，用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）求出当时消防喷淋头的高度是米，超过了吊灯的高度，所以有触电的危险． 【小问1详解】 解：由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为 整理可得：； 【小问2详解】 略 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接、、，求四边形的面积； （3）如图2，连接，若P是位于线段所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）9 （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点，求一次函数表达式及图形面积，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据题意，用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出抛物线与轴的交点，再利用求出即可； （3）设点的坐标为，通过求直线表达式表示出点的坐标，进而求出及得到面积的最大值，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵顶点D的坐标为， ∴设抛物线的函数解析式为． 将点代入上式，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：连接OD． ∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， ∴令，得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，． ∴． 【小问3详解】 解：过点P作轴，交BC于点Q， 设点P的坐标为， 直线的解析式为， 由点和， 得， 解得， 直线的解析式为． ∴点Q的坐标为， ∴， ∴． 由题意知， ∴当时，的面积最大，最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $