精品解析：福建厦门市翔安中学2026-2027学年高三上学期数学期中模拟卷（T03）

厦门市翔安中学2026-2027学年高三（上）数学期中模拟卷（T03） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，则. 2. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 3. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 4. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式定理得通项公式为， 令，解得，得到 故展开式中常数项为. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答. 【详解】，而，则，即， 所以. 故选：B 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 7. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得：  ， 由于，整理得：  解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 8. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（ ） A. 71 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到是周期函数及其周期，结合周期性、奇偶性可将转化到区间上，进而根据已知解析式求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以. 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 根据奇函数性质可知， 由可知， 当时，有，所以. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（ ） A. ， B. 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，根据表格数据可知：，，A正确； 对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； 对于C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式计算判断A；运用糖水不等式判断B；举例判断C；作差法比较判断D. 【详解】对于选项A，当时，. ∵，当且仅当时，取等号，∴，故A正确. 对于选项B，∵且，由糖水原理可知，故B错误； 对于选项C，当时，结论不成立，故C错误； 对于选项D，，即，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，，结合特殊值即可判断A；由求出x的表达式，即可判断B；利用三角函数恒等变换可判断C；令，求出符合题意要求的所有零点，可判断D. 【详解】A：由，即得，， 设，，则． 由于在内有最大值，没有最小值， 不妨取，，则， 故，解得，A正确； B：由以上分析知，令， 则，得， 令，，得，，所以在上有2个零点，B错误； C：，得， 因为，得，， 因此，，得，， 所以，，且， 所以， 故， 即， 由，得（负值舍），C正确； D.令，有， 得或， 解得或， 故上的零点依次为，，或，，，，， 所以各零点和为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】通过将双曲线方程化为标准形式代入渐近线公式，或直接令方程右侧常数为0化简，即可求得渐近线方程. 【详解】 方法1： 将双曲线方程化为标准形式 将原方程两边同时除以，得， 该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长， 代入渐近线公式求得； 方法2： 对于任意双曲线方程，其渐近线可令方程右侧常数项为0直接求解： 令，整理得，开方化简后即得 13. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的边角关系结合勾股定理求解出BC，进而表示周长，再利用函数性质和基本不等式求解周长最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为，设， 则，，; 因为是直角三角形，所以, 故的周长为：， 时，，当且仅当时取等号， 同时，且，即时取等号， 所以，时周长最小，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】（1）因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 【答案】（1）（）. （2）（）. 【解析】 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. 【小问2详解】 设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与正弦定理可得，结合余弦定理可求得，进而可求角B的大小； （2）由已知得，结合向量的数量积可得，结合余弦定理可求得，，利用面积法可求得的平分线BN的长． 【小问1详解】 由，得， 所以，可得，所以， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 若M为边上的中点，则， 所以， 所以，又，所以， 所以，，所以，所以 又，且是的平分线， 所以， 所以， 所以，所以，所以. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再计算与，最后用点斜式得切线方程. （2）由无单调递增区间得恒成立，转化为恒成立，求最小值得取值范围. （3）先确定单调性得，再根据，令，推出与关系，求最小值得的最小值. 【小问1详解】 当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． 【小问2详解】 由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在递减，在递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，令， 所以，即在上单调递减， 又因为，， 所以必存在正数，使得， 故， 由（2）知，当时，，当时，，当时，， 由上知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即， 令， 因为， 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安中学2026-2027学年高三（上）数学期中模拟卷（T03） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 7. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（ ） A. 71 B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附：下列表述正确的是（ ） A. ， B. 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______． 13. 若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $