辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第9周晚周测试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期 高三数学第9周晚周测试题参考答案 一、单选题 1．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 2．已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 3．已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 4．若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【详解】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 5．已知数列的前项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件分奇偶项讨论得，然后分组计算求和即可. 【详解】由题意得，当为奇数时，， 则为偶数，有，两式相减得； 当为偶数时，， 则为奇数，有，两式相加得； 所以，故D正确. 6．数列满足，且．若，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】因式分解，分析数列的递推规律，然后逆向分析即可得解. 【详解】由得， 整理得， 得或，即或， 所以数列从第二项开始，每一项由前一项加2或乘2得到， 因为，所以数列中的所有项都是偶数， 因为，则或，要使最小，则， 又数列中的所有项都是偶数，所以， 则或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 因为为偶数，所以，则，即，. 7．正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可解得，再由前项积的定义将表达式化简可得，可知数列是以为首项，公差为的等差数列，可得，因此，代入计算可得结果. 【详解】依题意当时，可得，即，解得或（舍）； 当时，，可得， 由可得， 所以， 整理可得，即， 又因为数列的各项为正，所以，可得， 因此， 由此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此， 所以，可得. 8．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【分析】根据题意作差可计算得，，所以数列是递减的等差数列，可判断A；利用等差数列前项和公式计算可判断B；根据等差数列的性质计算可判断C；根据已知条件结合不等式的性质计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 由，所以，所以，且， 所以数列是递减的等差数列，且， 则当时，最大，故A正确； 对于B，由上述分析可知，当时，单调递减， 且，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 对于C，由，且， 所以，即，故C错误； 对于D，因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 且，， 则有，， 所以，即， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD． 10．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 【答案】AB 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 三、填空题 11．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 【答案】11 【分析】先构造，得到数列是公差为2的等差数列，再利用累加法求解数列的通项公式，从而找到数列中第一个大于100的项. 【详解】令. 由得， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 所以 当，， ， … ， ， 将以上个等式左右两边分别相加得 ， 所以，因为也满足，所以， 要找第一个大于100的项，即，所以 所以第一个大于100的项是第11项，所以. 12．小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【详解】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 四、解答题 13．已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知前n项和公式，利用前n项和与前项和的差构造等式关系，推出数列的通项公式； （2）通过数列的通项公式形式，利用裂项相消的方法求和． 【详解】（1）由题意得，所以， 两式相减，可得，即． 数列的各项均为正数，，， 两式相减得，即 由数列的各项均为正数，知． 由，，， 由，解得， 于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故； （2）由（1）可知，代入可得 ； ． 试卷第8页（共9页） 试卷第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期 高三数学第9周晚周测试题 一、单选题（每题5分，合计40分） 1．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知数列的前项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．数列满足，且．若，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，合计12分） 9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 10．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 三、填空题（每题5分，合计10分） 11．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 12．小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 四、解答题（18分） 13．已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 试卷第2页（共9页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $