28.1图形的旋转（高频考点讲义）2026-2027学年人教版九年级上册数学

28.1 图形的旋转 学习目标和重难点 1、结合实例理解旋转的概念，能准确说出旋转中心、旋转方向和旋转角。 2、通过操作和推理探索旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角；旋转前后图形全等。 3、能运用旋转的性质进行简单的角度计算、线段关系判断和旋转作图。 重点：旋转的概念与三要素；旋转的三条基本性质。 难点：准确识别旋转角，理解"对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角"；在复杂图形中找准对应点并灵活运用性质解题。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 判断生活中的旋转现象 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 题型04 利用旋转的性质求角度 题型05 利用旋转的性质求线段长 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 题型07 与旋转变换有关的规律问题 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型09 画旋转图形 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 旋转相关的概念 1.旋转的概念 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 【针对训练】 【典例1】下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【变式2】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3】将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（ ） A． B． C． D． 知识点二 旋转的性质 ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 【针对训练】 【典例1】如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点是正六边形内角平分线的交点，将该正六边形绕点旋转（）后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是（ ） A．30 B．90 C．180 D．200 【变式3】如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点三 旋转作图 ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 1、平面直角坐标系中的旋转 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2、旋转对称图形 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 【针对训练】 【典例1】如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【变式2】在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 高频考题典例精析 题型01 判断生活中的旋转现象 例1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 例2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 例3．如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 题型04 利用旋转的性质求角度 例4.如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 题型05 利用旋转的性质求线段长 例5．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（   ） A． B．3 C． D．4 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 例6．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型07 与旋转变换有关的规律问题 例7．如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 例8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 题型09 画旋转图形 例9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 例10．如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 2．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 4．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 8．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 9．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 10．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 12．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 13．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 14．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 15．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 17．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知B点坐标为，将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 20．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 21．如图，在矩形中，将线段绕点旋转，使点落在边上的点处，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在的正方形网格中，线段的两个端点A，B均为格点，将线段绕某点旋转一定角度得到线段，点A，B的对应点分别为，，则旋转角度为__________°． 23．如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 24．如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 25．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 26．如图，四边形是正方形，观察图形回答问题： (1)请简述由图①变换为②的过程； (2)若，，求与的面积之和． 27．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 28．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 29．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 30．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 31．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 32．如图，等腰中，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则（     ） A． B． C． D． 33．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为_______． 34．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 36．如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 37．如图，已知点的坐标分别为，，． (1)将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； (2)将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； (3)线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转 学习目标和重难点 1、结合实例理解旋转的概念，能准确说出旋转中心、旋转方向和旋转角。 2、通过操作和推理探索旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角；旋转前后图形全等。 3、能运用旋转的性质进行简单的角度计算、线段关系判断和旋转作图。 重点：旋转的概念与三要素；旋转的三条基本性质。 难点：准确识别旋转角，理解"对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角"；在复杂图形中找准对应点并灵活运用性质解题。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 判断生活中的旋转现象 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 题型04 利用旋转的性质求角度 题型05 利用旋转的性质求线段长 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 题型07 与旋转变换有关的规律问题 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型09 画旋转图形 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 旋转相关的概念 1.旋转的概念 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 【针对训练】 【典例1】下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式1】数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 【变式2】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 【变式3】将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时的旋转角即可求出答案． 【详解】解：A. 该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； B.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； D.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； 即当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是D． 知识点二 旋转的性质 ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 【针对训练】 【典例1】如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 【变式1】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得旋转角，再根据计算即可． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】如图，点是正六边形内角平分线的交点，将该正六边形绕点旋转（）后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是（ ） A．30 B．90 C．180 D．200 【答案】C 【分析】本题考查图形的中心旋转，正多边形的性质，此图案是正六边形，根据正六边形的性质求解即可． 【详解】解：中心角为， 此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， 可以为（或或或或）等． 【变式3】如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 知识点三 旋转作图 ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 1、平面直角坐标系中的旋转 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2、旋转对称图形 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 【针对训练】 【典例1】如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将绕点分别画出的对应点，再连接，即可得出． 【详解】（1）如图所示，过点作关于直线的对称点，连接和． （2）如图所示，先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据网格的特点和旋转方式找到A、C的对应点的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式2】在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1) 如图，，即为所求作的三角形； (2) 如图，即为所求作的三角形， 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 高频考题典例精析 题型01 判断生活中的旋转现象 例1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 例2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 例3．如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 题型04 利用旋转的性质求角度 例4．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 利用旋转的性质求线段长 例5．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．先利用互余计算出，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着根据旋转的性质得，，，，，于是可判断为等腰三角形，所以，再利用三角形外角性质计算出，可得，然后利用进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∵A、、在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 例6．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 则． ∵点坐标为，点坐标为， ， 根据旋转可知：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型07 与旋转变换有关的规律问题 例7．如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 例8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 题型09 画旋转图形 例9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 例10．如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 【答案】/72度 【分析】本题考查旋转对称图形，正多边形的性质，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n的最小值为． 故答案为：． 一、系统分组_加入顺序 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】C 【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转． 2．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转的定义，属于中考常考题型. 3．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 4．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 5．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 6．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得旋转角，再根据计算即可． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 7．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 8．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 【答案】 【分析】设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，通过证明即可得到答案． 【详解】解：设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∴， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为，即将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是． 9．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 10．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出点位置规律和长度的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， ……， ∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环， ∵， ∴在轴的负半轴上， 又∵，，，…， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再根据旋转的性质得，，，则，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵将绕点逆时针旋转得， ，，， ，， 在中，由勾股定理得：． 13．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1) 即为所求作； (2) 即为所求作． 【分析】本题考查作图—轴对称、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 15．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形绕某一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 16．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 17．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知B点坐标为，将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照平移规律进行作图以及中心对称的规律进行作图，进而根据平面直角坐标系即可作答． 【详解】解：如图， 可知点的坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵点B的坐标为，∴，， A、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； B、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； C、若轴，点A的坐标为，则，该选项符合题意； D、若轴，点A的坐标为，则，该选项不符合题意． 20．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 【答案】D 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1． 左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2． 左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 21．如图，在矩形中，将线段绕点旋转，使点落在边上的点处，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得，，，由旋转的性质得，再利用勾股定理分别求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将线段绕点旋转，使点落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在的正方形网格中，线段的两个端点A，B均为格点，将线段绕某点旋转一定角度得到线段，点A，B的对应点分别为，，则旋转角度为__________°． 【答案】90 【分析】根据旋转的性质确定旋转中心为点O，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，由网格作，的垂直平分线，交于点O， ∴点O为旋转中心， ∴，即旋转角为． 23．如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【答案】35 【分析】根据旋转的性质得到旋转角，再用减去，即可求出的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 24．如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 25．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 26．如图，四边形是正方形，观察图形回答问题： (1)请简述由图①变换为②的过程； (2)若，，求与的面积之和． 【答案】(1)将绕点逆时针旋转得到，图①就变换为图② (2)与的面积之和为12 【分析】（1）观察两个阴影三角形公共顶点，根据正方形直角特征，判定绕点逆时针旋转完成图形变换； （2）利用旋转前后图形面积相等进行等面积转化，两个三角形面积之和转化为直角的面积，代入底和高直接求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴将绕点逆时针旋转，与重合，与重合； （2）∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴． 27．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 28．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得：   ， 则该选项错误； B.沿直线翻折    则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转    则该选项正确． 29．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键． 30．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在直角三角形中所对的边为斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，直角三角形两锐角互余以及等角对等边求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 由旋转得，，，， ， ， ， ． 31．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，再证明，设，则根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的长为. 32．如图，等腰中，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由旋转的性质找出题目中长度的规律，每次加上，，，即每旋转次长度增加，然后列出式子进行求解，即可得到答案． 【详解】解：依题意，，；，， ，，，…… ，每次加上，，，即每旋转次长度增加； ∵ ∴． 33．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， 点落在线段上， ， ， 在中，由勾股定理得． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 36．如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 【答案】 【分析】连接、，由旋转的性质可知，，则为等腰直角三角形，故．要求的最小值，即求的最小值，根据垂线段最短，当时，最小，在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】解：连接、，如图， 由旋转的性质可知，，， ， 当的值最小时，的值最小， 为边上任意一点， 当时，的值最小， 在中，，，， ， ， ， 的最小值为． 37．如图，已知点的坐标分别为，，． (1)将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； (2)将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； (3)线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 【答案】(1)解：如图，即为所求； ． (2)解：如图，即为所求； ． (3) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，，取点左侧一格点，连接，作点关于轴的对称点，连接，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，， 取点左侧一格的点，连接，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，则，连接， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵ ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $