专题28.1 图形的旋转（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦图形的旋转核心知识点，系统梳理旋转的概念（三要素：中心、方向、角度）、性质（对应点距中心等距、旋转角相等、图形全等）及作图步骤，通过生活现象判断、旋转要素识别、坐标系应用等17类题型构建从基础认知到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，每类题型含例题与变式，结合钟摆、风车等生活实例培养几何直观（数学眼光），坐标系旋转与规律探究题训练推理能力（数学思维），探究式学习与复盘笔记助力学生课后查漏补缺，提升应用意识（数学语言），课中便于教师系统授课，课后强化知识巩固。

简一数理 初中专题讲义 专题28.1 图形的旋转（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、旋转的基础 2 知识点二、旋转的性质 2 知识点三、旋转作图的步骤 2 【题型1 判断生活中的旋转现象】 3 【题型2 判断由一个图形旋转而来的图像】 3 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 4 【题型4 坐标系中的旋转】 5 【题型5 旋转中的规律性问题】 6 【题型6 根据旋转的性质求解】 8 【题型7 根据旋转的性质说明线段或角相等】 9 【题型8 旋转的性质及辨析】 10 【题型9 画旋转图形】 10 【题型10 利用旋转设计图案】 12 【题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标】 14 【题型12 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 15 【题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 16 【题型14 坐标与旋转规律问题】 17 【题型15 线段问题】 18 【题型16 面积问题】 20 【题型17 角度问题】 21 【探究式学习】 22 【课后检测】 24 【复盘笔记】 30 知识点一、旋转的基础 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 知识点二、旋转的性质 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 知识点三、旋转作图的步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【题型1 判断生活中的旋转现象】 【例1】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式1-1】下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【变式1-2】下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【变式1-3】下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【题型2 判断由一个图形旋转而来的图像】 【例2】下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【变式2-2】以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【变式2-3】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式3-1】如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【变式3-3】如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型4 坐标系中的旋转】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型5 旋转中的规律性问题】 【例5】按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．4 【题型6 根据旋转的性质求解】 【例6】将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，反比例函数过、两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型7 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例7】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【变式7-2】如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【变式7-3】如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 【题型8 旋转的性质及辨析】 【例8】下列说法中，是真命题的是（     ） A．三角形的外角和等于 B．机场安检检查乘客是否携带危险品适合采用抽样调查 C．图形的平移，旋转，轴对称变换都会改变图形的形状和大小 D．两边分别相等及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等 【变式8-1】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【变式8-2】经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（     ） A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变 【变式8-3】下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（　　） A． B． C． D． 【题型9 画旋转图形】 【例9】“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【变式9-1】如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【题型10 利用旋转设计图案】 【例10】在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【变式10-1】（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【变式10-3】在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)将向左平移3个单位长度得到，请在网格坐标系中画出，并直接写出点B的对应点的坐标； (2)在（1）的条件下，将绕原点O逆时针旋转得到，请在网格坐标系中画出． 【题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例11】．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ）        A． B． C． D． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【题型12 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例12】．如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点，点，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°，得到矩形，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（     ） A．（－2，0） B．（2，10） C．（3，10） D．（－5，7） 【变式12-3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例13】如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型14 坐标与旋转规律问题】 【例14】如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【题型15 线段问题】 【例15】如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【变式15-1】如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【变式15-3】在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E． (1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由． 【题型16 面积问题】 【例16】如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-1】如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【变式16-2】如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式16-3】将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【题型17 角度问题】 【例17】如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【变式17-1】如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式17-2】 如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中的对应点依次为A、、连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图像如图2，当时，的值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【变式17-3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（  　 ） A．24° B．26° C．28° D．30° 【探究式学习】 1．综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接，，延长交于点F，交于点G，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)如图2，当时： ①则 ； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图3，当点E，F重合时，探究之间的数量关系，并说明理由． 2．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 (1)如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到．连接，是的中点，连接，图1中与的数量关系是___________；图1中的角有___________个 【迁移探究】 (2)如图2，将等边绕点逆时针旋转，得到．连接，是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3．在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，在旋转过程中，当时，求线段的长． 【反思提升】 (4)回顾以上探究过程．回答下列问题： ①从等边三角形到等腰直角三角形，你在解题时运用了哪些数学思想方法？ ②通过本题的探究，你对“中点”在几何问题中的应用有了哪些新的认识？ 【课后检测】 1．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 4．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 11．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 12．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 13．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 14．如图，直角三角形的斜边在y轴的正半轴上，点A与原点重合，点B的坐标是，且，若将绕着点O旋转后，点B和点C分别落在点E和点F处，那么直线的解析式是______． 15．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 16．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 17．数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． (1)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在（2）的条件下，如图4，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【复盘笔记】 第 2 页 共 84 页 第 1 页 共 84 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题28.1 图形的旋转（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、旋转的基础 2 知识点二、旋转的性质 2 知识点三、旋转作图的步骤 2 【题型1 判断生活中的旋转现象】 3 【题型2 判断由一个图形旋转而来的图像】 4 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 6 【题型4 坐标系中的旋转】 8 【题型5 旋转中的规律性问题】 15 【题型6 根据旋转的性质求解】 19 【题型7 根据旋转的性质说明线段或角相等】 22 【题型8 旋转的性质及辨析】 25 【题型9 画旋转图形】 27 【题型10 利用旋转设计图案】 30 【题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标】 35 【题型12 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 38 【题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 42 【题型14 坐标与旋转规律问题】 45 【题型15 线段问题】 49 【题型16 面积问题】 56 【题型17 角度问题】 61 【探究式学习】 65 【课后检测】 69 【复盘笔记】 85 知识点一、旋转的基础 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 知识点二、旋转的性质 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 知识点三、旋转作图的步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【题型1 判断生活中的旋转现象】 【例1】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 【变式1-1】下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 【变式1-2】下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型2 判断由一个图形旋转而来的图像】 【例2】下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 【变式2-1】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由平移的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：图形先向左平移5格，再绕点逆时针旋转可得图形， 故选：C． 【变式2-2】以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 【变式2-3】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 【变式3-1】如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换旋转，画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心点． 【详解】解：作的垂直平分线交于点， 点即为旋转中心，． 【变式3-3】如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得的度数即可； 【详解】解：，， ， 根据旋转的性质，得，，， ， 设， ， ，，且， ， ， ， ， 解得， 故； 【题型4 坐标系中的旋转】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4-1】如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，则， ∵三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴在中，， ∴， 而 ∴点， 即旋转后点C的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式4-2】如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，则，连接，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在直角中，， ， 由题意得，， ， 在直角中，， ， 而， 点， 即点的对应点的坐标为， 故选：A． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型5 旋转中的规律性问题】 【例5】按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的图形，观察发现旋转的规律即可． 【详解】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按逆时针方向转动． ∴在空格中应填：． 【变式5-1】如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 【变式5-2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【变式5-3】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可． 【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示： 把，代入得：，解得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点， ∴每4次一个循环， ∴， ∴第2024次变化后点的坐标为， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键． 【题型6 根据旋转的性质求解】 【例6】将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 【变式6-1】如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 【变式6-2】如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，反比例函数过、两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴于点Q，连接，首先求出，证明是等边三角形，得到，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，连接 ∵矩形的顶点、分别在轴、轴上，， ∴轴，即点B的纵坐标为， ∵反比例函数过、两点， 将代入得，， 解得， ∴， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数上， ∴， 解得． 【变式6-3】如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】依托旋转全等得到对应角相等，拼接角证明垂直关系，由对应边相等判定点在中垂线上，利用全等三角形固有性质判定周长、面积相等． 【详解】解：根据旋转的性质可以得到：，故②错误， ∴与的周长和面积分别相等，故④正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴点A在线段的中垂线上，故③正确． ∴正确的选项有3个． 【题型7 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例7】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 【变式7-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 【变式7-2】如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 【变式7-3】如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 将绕点A逆时针旋转得到，根据等腰直角三角形的性质确定，再由旋转的性质得出，，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： ∵，， ∴， ∵旋转，， ∴，， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【题型8 旋转的性质及辨析】 【例8】下列说法中，是真命题的是（     ） A．三角形的外角和等于 B．机场安检检查乘客是否携带危险品适合采用抽样调查 C．图形的平移，旋转，轴对称变换都会改变图形的形状和大小 D．两边分别相等及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：A、任意多边形的外角和为，三角形属于多边形，故为真命题； B、机场安检需排查所有乘客的危险品携带情况，应采用全面调查，故为假命题； C、平移、旋转、轴对称变换均不改变图形的形状和大小，故为假命题； D、两边分别相等且其中一组等边的对角相等不能判定两个三角形全等，故为假命题． 【变式8-1】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 【变式8-2】经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（     ） A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变 【答案】C 【分析】本题考查对称、平移、旋转变换的基本性质，这三种变换都属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小． 【详解】解：∵对称、平移、旋转变换都属于全等变换，变换前后的图形全等， ∴ 变换后图形的形状和大小都不会发生改变． 【变式8-3】下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移变换的性质，旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意； B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意； C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意； D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平移、旋转和轴对称的概念．熟练掌握平移、旋转和轴对称的概念是解决本题的关键． 【题型9 画旋转图形】 【例9】“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 【变式9-1】如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转和平移，坐标与图形，根据题意，画出变换后的图形即可求解，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意作图如下： 由图可得，点坐标为， 故选：． 【变式9-2】．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 【题型10 利用旋转设计图案】 【例10】在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 【变式10-1】（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】 解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2） （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）略 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求： ； 【分析】利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】略 【变式10-3】在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)将向左平移3个单位长度得到，请在网格坐标系中画出，并直接写出点B的对应点的坐标； (2)在（1）的条件下，将绕原点O逆时针旋转得到，请在网格坐标系中画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 点的坐标为 (2)如图,即为所求． 【分析】（1）利用平移规律描出点A、B、O的对应点、、，然后顺次连接即可；根据点在坐标系中的位置即可写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、绕点O按逆时针旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可. 【详解】（1）略 （2）略 【题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例11】．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 【变式11-1】．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴，，，， ∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向下平移2个单位后的解析式为． 故选D． 【题型12 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例12】．如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】三角形旋转后，边长大小不变，根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转，进行两种情况的讨论画图求解即可． 【详解】解： 因为，所以时，，当时，，解得 即点，所以， 三角形旋转后形状不变，，所以 ①当绕点A顺时针旋转90°后得到，如图①，此时在第一象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为； ②当绕点A逆时针旋转90°后得到，如图②，此时在第三象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为， 所以点坐标为或， 故选： 【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合，如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点，点，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°，得到矩形，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质先求出点C坐标，继而得出矩形各边的长，根据题意画出旋转后的图形，再结合矩形的性质即可求得答案． 【详解】∵矩形ABCD中，BC//AD，AB//CD，点，点， ∴点，OA=1， ∴BC=AD=3，AB=CD=2， 将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°，得到矩形，如图所示， ∴AB’=AB=2，B’C’=BC=3， ∴OB’=1， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转，正确画出图形是解题的关键． 【变式12-2】如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（     ） A．（－2，0） B．（2，10） C．（3，10） D．（－5，7） 【答案】B 【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C的长，由此判断点D′的坐标． 【详解】解：如图，△CDB绕点C逆时针旋转90°后得△CD′B′， ∴B′D′=BD，B′C=BC， ∵四边形OABC是正方形，D（5，3）， ∴BC=5，BD=2， ∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2， ∴点D′的坐标为（2，10）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式12-3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点． 【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形， 由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3) ． 故选B． 【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转． 【题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例13】如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 【变式13-1】如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 【变式13-2】如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 过点的对应点作轴的垂线，利用勾股定理及等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：令点和点旋转后的对应点分别为和，过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知， 是等边三角形，且边长为2， ，轴， ， 则． 在中， ， 所以点的坐标为． 故选：D． 【变式13-3】．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用旋转的性质得出的长，进而得出答案．注意题目中未说明点落在x轴正半轴还是负半轴，所以要分类求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴． 当点落在x轴的正半轴时，， ∴； 当点落在x轴的负半轴时，， ∴． 综上可知，点的坐标是或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及坐标与图形变换的性质，正确得出的长是解题的关键，同时要注意这类题的易错点——忽略分类讨论，导致漏解． 【题型14 坐标与旋转规律问题】 【例14】如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 【变式14-1】如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，可得点逆时针旋转后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 【变式14-3】．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为8即可求出的值． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，， ， 将绕点旋转得， ， 抛物线， 且曲线的一个周期长为8， 在这种连续变换的图象上，且， ∴． 故选：A． 【题型15 线段问题】 【例15】如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≅△NEG（SAS)， ∴∠ENG=∠A=60°， ∴∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG， ∴△EGN≅△BGN（SAS)， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中， ∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH==1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式15-1】如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 【变式15-2】如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式15-3】在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E． (1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1) 解：如图即为所求． 解法一（利用作全等三角形）： 解法二（利用作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）： 解法三（利用作全等三角形）： (2) 解法一： 当时，无论取何值时，都有． 理由如下： ∵，， ∴始终在的外部． 连接，， ∵在中，，是的中点， ∴． ∴． ∵是的外角， ∴． 又∵，即， ∴． ∴． ∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点， ∴，，． 又∵点在上， ∴． ∴，即点在上． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 此时，． 解法二： ∵，， ∴始终在的外部． 连接，， ∵在中，，是的中点， ∴． ∴． ∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点， ∴，，． 又∵点在上， ∴． ∴．即点在上． ∴． ∴． 要使得无论取何值时，都有，只要使四边形是平行四边形． ∵， ∴要使四边形是平行四边形，只要使． 即要使． ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴． ∴要使， 只要使，即． ∴当时，无论取何值时，都有． 此时，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可； （2）连接，，根据三角形的外角定理可得，则，再通过证明四边形是平行四边形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 【题型16 面积问题】 【例16】如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式16-1】如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 【变式16-2】如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，证明点H、F、E三点共线，则为的高，根据三角形的面积公式将的面积表示出来即可解答． 【详解】 连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接， ∵点F为中点F， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点H、F、E三点共线， 故为的高， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ， ∴当面积最大时，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意画出辅助线构造全等三角形． 【变式16-3】将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 【题型17 角度问题】 【例17】如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转有：， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式17-1】如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先求出，根据旋转的性有，即可证明，即问题得解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性有， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转角度为40°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【变式17-2】 如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中的对应点依次为A、、连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图像如图2，当时，的值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于D，由题意可知，当，，设，则，可得，求出a，当时，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过点作于D，如下图， 由题意得，当时，， ∴， 当时，，则， 设，则， ∵为直角三角形，由勾股定理可知， 即有， 解得 或（舍去）， 即，， 当时，，， ， ∴，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转变换、勾股定理、函数图像等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式17-3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（  　 ） A．24° B．26° C．28° D．30° 【答案】B 【分析】设∠C = x，则∠B=78°- x，根据∠B+∠C = 78°，得，则，用x的代数式表示出的度数，根据，列出方程即可解决． 【详解】解：如图， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， 设∠C = x，则∠B=78°- x， ， ， 解得：， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形得外角等知识，计算出是解题的关键． 【探究式学习】 1．综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接，，延长交于点F，交于点G，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)如图2，当时： ①则 ； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图3，当点E，F重合时，探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2)， 理由如下： 和是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①根据和等腰直角三角形的性质即可求出②根据已知条件判定，得到，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可证明；（2）仍是判定，则，再根据等腰直角三角形性质得到，代换即可． 【详解】（1） 解：①是等腰直角三角形， ， ， ，即． ②略 （2）略 2．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 (1)如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到．连接，是的中点，连接，图1中与的数量关系是___________；图1中的角有___________个 【迁移探究】 (2)如图2，将等边绕点逆时针旋转，得到．连接，是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3．在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，在旋转过程中，当时，求线段的长． 【反思提升】 (4)回顾以上探究过程．回答下列问题： ①从等边三角形到等腰直角三角形，你在解题时运用了哪些数学思想方法？ ②通过本题的探究，你对“中点”在几何问题中的应用有了哪些新的认识？ 【答案】(1)；4 (2)，理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ． (3) (4)①主要运用了归纳类比的方法； ②“中点”可以结合三角形中位线以及等腰三角形三线合一的性质来运用从而得到结论． 【分析】（1）由等边三角形旋转的性质，得，是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因是中点且，故． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，将绕点旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ ，则， 又， ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． （2）略 （3）解：如图所示： 为中点，，则， ∵，则， ∵， ∴，则， ，， ． （4）略 【课后检测】 1．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质知，， ， ， ∴， ， 由外角定义得． 3．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 4．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据旋转得为旋转角，为对应边，为对应角，由E、B、C三点共线，知点A、E、B、C在上，从而可得，即可得． 【详解】解：由旋转得，，， E、B、C三点共线， 在中，， ． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绕点A逆时针旋转得，知，，故，根据三角形内角和定理可说明． 【详解】解：如图，设与交于点， 由旋转可知，，， ， 在中，， 在中，， ， ． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，，，，由勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】由旋转可得，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 7．如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质及互余关系求角度即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ， ， ． . 8．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等腰三角形， ∴． 10．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据旋转的性质得到，从而判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理求出顶角的度数即为旋转角. 【详解】解：，， ， 绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上， ，， 为等腰三角形， ， . 11．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 12．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 13．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 14．如图，直角三角形的斜边在y轴的正半轴上，点A与原点重合，点B的坐标是，且，若将绕着点O旋转后，点B和点C分别落在点E和点F处，那么直线的解析式是______． 【答案】或 【分析】根据点的坐标以及勾股定理求出相关线段的长度，分逆时针和顺时针两种情况进行讨论，利用线段的长度求出相关点的坐标，最后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． ①如图所示，将绕着点O逆时针旋转时， 根据旋转得， ∴点， ∴直线的解析式是； ②如图所示，将绕着点O顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据旋转得，， ∵轴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， 设直线的解析式是， ∴， 解得， ∴直线的解析式是； 综上，直线的解析式是或． 15．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，可得每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． 16．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把绕点A逆时针旋转至，使与重合，根据正方形的性质及各角之间的关系得出点E、D、G共线，然后利用全等三角形的判定和性质得出，，再结合勾股定理求解即可； （3）过D作，且，连接并延长交于K，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； （3）解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 17．数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． (1)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在（2）的条件下，如图4，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： 连接，， ∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ，，在同一条直线上； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，得到，然后结合即可求解； （3）连接，求出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形重合， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接， 由（2）得四边形是平行四边形， ，． ， ． ，， ， ． 设， 在同一条直线上， ， 在中，利用勾股定理得，， ∴， 解得， ． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 【复盘笔记】 第 2 页 共 84 页 第 1 页 共 84 页 学科网（北京）股份有限公司 $