精品解析：天津市静海区模范中学2026-2027学年第一学期 九年级数学期中考试试卷

2026—2027学年第一学期模范中学九年级数学期中考试试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是， 故选：C． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是直接根据顶点式的特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选A． 3. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的取值范围确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性比较的大小． 【详解】点，在反比例函数的图象上，且， 点，均在第二象限，，， ∵ ， 在每个象限内，随的增大而增大， ， ， ． 7. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：令，得， ∵， ∴， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 8. 已知二次函数，当，则y的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向、对称轴与x的取值范围，利用增减性确定y的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； 当时，， ∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，． 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵全班有名学生，每名学生写份留言， ∴总留言数为， ∴方程为． 故选：A． 10. 抛物线的部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，再观察图象即可确定时自变量的取值范围，从而确定答案． 【详解】因为抛物线过点，对称轴是，根据抛物线的对称性可知,抛物线必过另一点， 因为抛物线开口向下，时，图象在x轴的上方， 此时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是本题最大的特点． 11. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 14. 反比例函数过点和，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 15. 某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，由于4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用户数量增长至36万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 16. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 17. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 【答案】10米## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故答案为：米． 18. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． ①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断； ②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断； ③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断； ④根据根的判别式即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 故④正确，符合题意． 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ∴，． 20. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，且与的反比例函数图象如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，求小明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1） （2）度数下降了50度 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据图象求出函数关系式是关键． （1）设函数解析式为，根据函数图象过点，代入解析式中即可求解； （2）由所求函数解析式，求出当时的函数值即可求解． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 由函数图象知，图象过点，把此点坐标代入中， 得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：， 当时，， 故小明的眼镜度数下降了（度）； 答：小明的眼镜度数下降了50度． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 22. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】（1）； ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 23. 已知二次函数， （1）求此函数图象的顶点坐标； （2）求顶点及抛物线与轴的两个交点形成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可以把一般式用配方法配成顶点式，从而求得函数图象的顶点坐标； （2）令求二次函数与轴的交点坐标.即可求出面积． 【小问1详解】 解： ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则有 ， 即 ， 解得：， ∴顶点及抛物线与轴的两个交点形成的三角形的面积.：． 24. 某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价元，则每件商品利润 元，每星期可售出 件；（用含的代数式表示） （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）降价元时，利润最大且为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，列代数式，根据题意正确列出代数式和函数表达式是解决问题的关键． （1）每件降价元，则每件商品利润为“售价降价进价”，每星期售出为“多卖出件数”； （2）根据题意，利润单件利润售出的总件数列出函数表达式；根据时，有最大值． 【小问1详解】 解：设每件降价元， 则每件商品利润为：元， 每星期可售出件， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若每星期售出商品的利润为元， ． 当元时，有最大值， 元， 即当降价元时，利润最大且为元． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期模范中学九年级数学期中考试试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知二次函数，当，则y的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1640份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 11. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 14. 反比例函数过点和，则________． 15. 某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 16. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 17. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 18. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（填序号） 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，且与的反比例函数图象如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，求小明的眼镜度数下降了多少度？ 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 22. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 23. 已知二次函数， （1）求此函数图象的顶点坐标； （2）求顶点及抛物线与轴的两个交点形成的三角形的面积． 24. 某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价元，则每件商品利润 元，每星期可售出 件；（用含的代数式表示） （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $