精品解析：天津市静海区杨成庄中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年天津市静海区杨成庄中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 3. 抛物线的对称轴是（    ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 8. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 若二次函数的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( ) A. (1，2) B. (-1，-2) C. (-2，1) D. (2，-1) 10. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________． 14. 若是方程的一个根，则的值为_____． 15. 当_____时，是关于的二次函数． 16. 已知是一元二次方程，则的值为______． 17. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 18. 如图所示，抛物线经过原点，那么a的值是______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 按要求解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 22. 二次函数的图象如图所示． （1）写出关于x的一元二次方程的两个根； （2）写出关于x的不等式的解集； （3）若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为 （1）直接写出S与x之间的函数表达式及x的取值范围． （2）当x为何值时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 24. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年天津市静海区杨成庄中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义（形如，，a、b与c是常数）解决此题． 【详解】解：A.是正比例函数，不符合题意． B.是一次函数是反比例函数，不符合题意． C.是二次函数，故选项C正确，符合题意． D.是一次函数，故选项D错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； C．此方程符合一元二次方程，符合题意； D．此方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 抛物线的对称轴是（    ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A． 考点：抛物线的平移规律． 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 6. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 【答案】B 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解． 【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛， 故x（x-1）=28． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 8. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a=1，b=－3，c=－1 ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键. 9. 若二次函数的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( ) A. (1，2) B. (-1，-2) C. (-2，1) D. (2，-1) 【答案】A 【解析】 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（-1，2）， 则该图象必经过点（1，2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 10. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【详解】∵点(−1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=x2的图象上， ∴y1=(−1)2=1，y2=22=4，y3=(−3)2=9， ∴y1<y2<y3， 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标特征. 11. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， ∴a＜0，b＞0 ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间 ∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间 ∴抛物线与y轴交于负半轴 ∴c＜0 ∴abc＞0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时，y＜0 ∴，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2,1） ∴ 由①，得b=-4a 将b=-4a代入②，得 整理，得c-4a=1，故③正确； ∵抛物线与x轴交于两点 ∴ ∴，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1） ∴（m为任意实数），故⑤正确． 综上：正确的有3个 故选B． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________． 【答案】（3，5）． 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：因为y＝2（x﹣3）2+5是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，5）； 故答案为：（3，5）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 14. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 15. 当_____时，是关于的二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 16. 已知是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 【答案】168（1﹣x）2=128 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 18. 如图所示，抛物线经过原点，那么a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线经过原点，从而，可得a的值，结合抛物线开口向下，可以判断得解． 【详解】解：抛物线经过原点， 又抛物线开口向下， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 按要求解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-直接开平方法，熟知直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以； 【小问2详解】 ， ， 则， 所以； 【小问3详解】 ， 或， 所以； 【小问4详解】 ， 则或， 所以． 20. 已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1），； （2）当时，函数有最大值，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）根据二次函数的顶点式即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值是． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）m的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入原方程得： ， 解得：， ∴m的值为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴m的取值范围为：． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 二次函数的图象如图所示． （1）写出关于x的一元二次方程的两个根； （2）写出关于x的不等式的解集； （3）若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； 【小问2详解】 ∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； 【小问3详解】 ∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为 （1）直接写出S与x之间的函数表达式及x的取值范围． （2）当x为何值时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）与x之间的函数表达式为 （2）当x为20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题的关键． 根据栅栏的总长度为，可得出，结合矩形的面积公式，可得出S关于x的函数表达式，结合矩形的各边为正值且墙长为，可得出x的取值范围； 将二次函数解析式变成为顶点式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：∵栅栏的总长度为， ， ， 根据题意得：，即， 墙长为，各边长度为正值， ， ， 与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ， 当时，S取得最大值，最大值为 答：当x为20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 24. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）， （2）当降价为元时，每天的利润最大． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价-每件成本，即可解得； （2）设每天的利润为元，根据“总利润＝单件利润×数量”，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， ∴如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为∶，； 【小问2详解】 解：设每天的利润为w元，由题意得 ， 当时，w最大，最大值为， 答：当降价为元时，每天的利润最大． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 将，，代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $