精品解析：四川达州市宣汉县樊哙中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

四川省宣汉县樊哙中学2026-2027学年八年级上学期10月 学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 8，15，17 C. 2，8，10 D. 1，， 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的算术平方根是1 B. 9的平方根是 C. 0没有平方根 D. 任何实数都有立方根 3. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的每个顶点都在边长为的正方形的格点上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 7. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______． 10. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为______． 11. 如下，数学老师在上课提问时，叫到同学，结果X同学站起来回答问题；若提问同学，则_____同学应站起来回答问题；若提问同学，则_____同学应站起来回答问题． Y X W V U P Q R S T O N M L K F G H I J E D C B A 12. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 13. 满足的所有整数x的和是__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 15. 已知点，，分别根据下列要求确定a，b的值． （1）直线轴． （2）P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上． 16. 解答 （1）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 17. 定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． （1）若与是关于的和谐二次根式，求； （2）若与是关于的和谐二次根式，求． 18. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则____________． 20. 如图，点E是长方形纸片的边上一点，将长方形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则__________，__________． 21. 有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 22. 已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 23. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 25. 已知，． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宣汉县樊哙中学2026-2027学年八年级上学期10月 学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 8，15，17 C. 2，8，10 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；满足勾股定理（）的一组数，即为勾股数； 【详解】由题知，结合勾股数的定义，首先该组数为正整数，然后满足勾股定理； ∵A，D选项中的数不为整数，故不是勾股数； B选项是正整数；又满足勾股定理：，∴是勾股数； C选项是正整数；但是不满足勾股定理，∴不是勾股数； 故选：B； 【点睛】本题考查勾股数定义，关键在于能够熟练的掌握和计算； 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的算术平方根是1 B. 9的平方根是 C. 0没有平方根 D. 任何实数都有立方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根的基本概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：计算，其算术平方根为，本选项说法正确． B：若，则，因此9的平方根是，本选项说法正确． C：0的平方根是0，因此本选项说法说法错误． D：立方根的定义覆盖所有实数，正数、负数、0均有立方根，本选项说法正确． 故选：C 3. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识．根据点，点的坐标，建立平面直角坐标系，得到坐标原点，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系，如图： ∴点的坐标为． 故选：C． 4. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 5. 如图，的每个顶点都在边长为的正方形的格点上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用网格勾股定理求出三边长度，则可证明，且，，进而可证明是等腰直角三角形，则的度数为． 【详解】解：设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各边长度： ， ， ， 则， 是直角三角形，且， 又∵， 是等腰直角三角形， ∴的度数为． 6. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 8. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解． 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积，再根据正方形面积计算公式即可求出边长． 【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一条直角边的平方， 由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为25． ∴所代表的正方形的边长为5． 故答案为：5． 11. 如下，数学老师在上课提问时，叫到同学，结果X同学站起来回答问题；若提问同学，则_____同学应站起来回答问题；若提问同学，则_____同学应站起来回答问题． Y X W V U P Q R S T O N M L K F G H I J E D C B A 【答案】 ①. L ②. H 【解析】 【分析】根据已知的对应X的位置，明确数对的计数规则，再按规则定位两个数对对应的同学即可． 【详解】解：∵已知数对对应的同学是X ∴第一个数是从左向右数的列序号，第二个数是从下向上数的行序号 ∴当数对为时，从左数第4列，从下数第3行，对应位置的同学是L； 当数对为时，从左数第3列，从下数第2行，对应位置的同学是H． 12. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 13. 满足的所有整数x的和是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）使用完全平方公式和二次根式的除法运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 已知点，，分别根据下列要求确定a，b的值． （1）直线轴． （2）P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由轴，可得纵坐标相等，横坐标不相等，即可求出答案． （2）由P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上，可得纵坐标与横坐标相加得零，即可求出答案． 【小问1详解】 解：因为直线轴， 所以点，的纵坐标相等， 所以，即， 又P、Q两点不能重合， 所以， 即． 【小问2详解】 解：因为P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上， 所以，解得， ，解得， 所以，． 【点睛】本题考查了点的坐标规律的探索，熟练掌握点的坐标的规律是解题关键． 16. 解答 （1）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数轴上的位置，判断出，，的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到、的值，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：由数轴知， 原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． （1）若与是关于的和谐二次根式，求； （2）若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ， ， ∴． 18. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 【答案】（1），理由： 如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° (SAS) ． （2）13； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得 （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点则，连接，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）略 （2）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° , (SAS) ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接 则,， 又 在与中 （AAS） 在中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 20. 如图，点E是长方形纸片的边上一点，将长方形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与翻折问题，由翻折可得，，在中通过勾股定理求出长度，再在中由勾股定理求出的值． 【详解】由翻折可得，， ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即 故答案为：，． 21. 有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数值转换器的流程图，输入 后计算其算术平方根，若结果是有理数则将该结果作为新的输入继续计算算术平方根，直到计算结果是无理数时输出该结果． 【详解】解：当时，则，16是有理数， 当时，则，4是有理数， 当时，则，2是有理数， 当时，得，是无理数，输出， 即． 22. 已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 23. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图（），图（）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，完全平方公式，设正方形，，的面积分别为，由全等三角形性质可得，，然后分别求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正方形，，的面积分别为， ∵八个直角三角形全等，正方形，，是正方形， ∴，， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：连结 ∵是的角平分线， 垂直平分， ∵点E在上， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）结合（1）求出，根据勾股定理求出，再根据三角形周长定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴的周长为：． 25. 已知，． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简和，求出以及，然后代入计算即可； （2）由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可； （3）先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； 【小问3详解】 解：， ，， ． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $