1.5.1全称量词与存在量词教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.1 全称量词与存在量词（教学设计） 课题 1.5.1 全称量词与存在量词 单元 第一章 集合与常用逻辑用语（1.5 全称量词与存在量词 第1课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称量词命题与存在量词命题； 2、掌握全称量词命题∀x∈M, p(x)与存在量词命题∃x∈M, p(x)的符号表示，能正确判断全称量词命题与存在量词命题的真假； 3、经历由具体语句抽象出量词概念的过程，体会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想，发展数学抽象与逻辑推理素养。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》1.5《全称量词与存在量词》的第1课时，是在学生学习了命题、充分条件与必要条件之后，对命题结构认识的进一步深化。 教材首先指出：命题是可以判断真假的陈述句，数学中有些含变量的陈述句因未限定变量取值范围而无法判断真假；用短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为命题，这样的短语称为量词。 教科书通过两组“思考”栏目展开：第一组对比“x>3”与“对所有的x∈R，x>3”等四个语句，引出全称量词“所有的”“任意一个”及其符号∀，归纳全称量词命题的形式∀x∈M, p(x)；再通过例1说明判断全称量词命题真假的方法（真：对M中每个元素证明p(x)成立；假：举反例）。第二组类比引出存在量词“存在一个”“至少有一个”及其符号∃，归纳存在量词命题的形式∃x∈M, p(x)；再通过例2说明判断存在量词命题真假的方法（真：在M中找到一个元素使p(x)成立；假：不存在这样的元素）。 全称量词与存在量词是数学逻辑的基础用语，是后续学习命题否定、以及函数、不等式、几何证明中“任意”“存在”类问题的重要工具，也为高二学习常用逻辑用语、推理与证明奠定基础。 学情分析 学生在初中及本章前面的学习中已经接触过大量“所有”“任意”“存在”“至少有一个”等日常用语，也学习了命题、充分条件与必要条件，对“判断真假”并不陌生。 本节学生面临的主要障碍： 1、对“含变量的语句不是命题，用量词限定后才成为命题”这一逻辑前提理解不深，容易把“x>3”误认为命题； 2、对全称量词命题为真需要“对集合M中每一个元素都验证”体会不足，判断时容易以偏概全；对“举一个反例即可否定全称量词命题”掌握不牢； 3、对存在量词命题为真只需“找到一个”体会不深，判断时容易要求“全部成立”； 4、符号∀、∃与自然语言、符号语言之间的转换不熟练，常见量词（一切、每一个、任给；有些、有一个、对某些、有的）的识别不全面。 教学策略：以教材两组“思考”为驱动，通过“对比—归纳—辨析—举例”的路径，让学生在具体语句的比较中自主建构两类量词的概念；用“判断真假”的正反例（举反例、找正例）深化对两类命题真假判定逻辑的理解。 教学重点 全称量词与存在量词的意义；全称量词命题与存在量词命题的识别、符号表示及真假判断。 教学难点 理解全称量词命题为真需“M中每个元素都满足”、为假只需“举一个反例”；存在量词命题为真只需“找到一个”、为假需“M中没有一个满足”；两类命题真假判断逻辑的准确把握。 教学准备 多媒体课件（PPT）、量词含义对比示意图。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【复习回顾 提出问题】 教师：我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，例如“x>3”“2x+1是整数”。 提问1：“x>3”是命题吗？为什么？ 教师引导：由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因此它们不是命题。 提问2：如果在原语句的基础上，用一个短语对变量x的取值范围进行限定，例如“对所有的x∈R，x>3”，它能判断真假了吗？ 教师指出：用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本节就来学习两类最常用的量词——全称量词与存在量词。 1、回顾命题的概念； 2、思考并回答提问1：x>3无法判断真假，不是命题； 3、比较提问2，体会加上“所有的”后语句变成了可以判断真假的命题，初步感受量词的作用。 由学生熟悉的含变量语句切入，制造“不是命题”与“加上限定后成为命题”的认知冲突，让学生体会学习量词的必要性，自然引入课题。 新知 探究1 【活动一：全称量词与全称量词命题】 【思考（教材第26页）】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) x>3； (2) 2x+1是整数； (3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x+1是整数。 教师引导：语句(1)(2)中含有变量x，无法判断真假，不是命题；语句(3)在(1)的基础上用“所有的”限定，语句(4)在(2)的基础上用“任意一个”限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的命题。 教师给出定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 教师强调（教材旁注）：常见的全称量词还有“一切、每一个、任给”等。 例如，命题“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。 教师给出符号记法：通常，将含有变量x的语句用 p(x), q(x), r(x), … 表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M, p(x)。 1、比较(1)与(3)、(2)与(4)，说出添加短语前后语句性质的变化； 2、记录全称量词、全称量词命题的定义及符号∀； 3、举例：再说出一个含有“一切”“每一个”的全称量词命题； 4、在笔记本上写出“∀x∈M, p(x)”的结构。 以教材“思考”为载体，让学生在对比中发现“短语限定变量→成为命题”的规律，自主建构全称量词概念；借旁注丰富全称量词的日常表达，突出符号化表示。 【活动二：全称量词命题真假的判断】 【例1（教材第27页）】 判断下列全称量词命题的真假： (1) 所有的素数都是奇数； (2) ∀x∈R，|x|+1≥1； (3) 对任意一个无理数x，x²也是无理数。 分析： 要判定全称量词命题“∀x∈M, p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x₀，使p(x₀)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。（教材旁注：这个方法就是“举反例”。） 解： (1) 2是素数，但2不是奇数。所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题。 (2) ∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1。所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是真命题。 (3) √2是无理数，但(√2)²=2是有理数。所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x²也是无理数”是假命题。 教师小结：判断全称量词命题真假——要证真，需“个个都满足”；要判假，只需“一个反例”。 1、先独立思考每个命题，再与教师分析对照； 2、(1)(3) 体会举反例的作用：2、√2 都是反例； 3、整理判断全称量词命题真假的“两步法”：真——逐一验证；假——举一反例。 通过例1三个层次（假、真、假）让学生体会全称量词命题真假判断的逻辑：真命题需一般性证明，假命题举一个反例即可，突破本节难点。 新知 探究3 【活动三：存在量词与存在量词命题】 【思考（教材第27页）】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) 2x+1=3； (2) x能被2和3整除； (3) 存在一个x∈R，使2x+1=3； (4) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除。 教师引导：(1)(2)不是命题；语句(3)在(1)的基础上用“存在一个”限定，语句(4)在(2)的基础上用“至少有一个”限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的命题。 教师给出定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 教师强调（教材旁注）：常见的存在量词还有“有些、有一个、对某些、有的”等。 例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题。 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 ∃x∈M, p(x)。 【配图】教师在PPT上展示“全称量词 vs 存在量词”对比示意图（见下图），引导学生看图辨析两类命题含义。 1、类比第一组“思考”，自主比较(1)(2)与(3)(4)的关系； 2、记录存在量词、存在量词命题的定义及符号∃； 3、观察示意图，用自己的话说出“∀”与“∃”的区别； 4、举例：说出一个含“有些”的存在量词命题。 类比全称量词的研究路径，让学生迁移方法自主归纳存在量词；用示意图把“全部成立”与“至少一个成立”直观化，为真假判断奠定直观基础。 【活动四：存在量词命题真假的判断】 【例2（教材第28页）】 判断下列存在量词命题的真假： (1) 有一个实数x，使x²+2x+3=0； (2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3) 有些平行四边形是菱形。 分析：要判定存在量词命题“∃x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题。 解： (1) 由于Δ=2²−4×3=−8<0，因此一元二次方程x²+2x+3=0无实根。所以，存在量词命题“有一个实数x，使x²+2x+3=0”是假命题。 (2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线。所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题。 (3) 由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 教师小结：判断存在量词命题真假——要证真，只需“找到一个”；要判假，需“M中没有一个满足”。 1、独立思考后回答； 2、(1) 用判别式Δ判断方程无实根； 3、(2)(3) 联系平面几何与四边形知识； 4、整理判断存在量词命题真假的“两步法”：真——找一例；假——说明不存在。 通过例2让学生体会存在量词命题真假判断的逻辑：真命题找到一个正例即可，假命题需一般性说明不存在，与全称量词命题的真假判断形成对照。 典例 精讲 【方法提炼】 教师引导学生对照例1、例2，归纳两类命题的识别与真假判断方法： 1、识别量词：找语句中的“所有、每一个、一切、任意、任给”等→全称量词∀；找“存在、至少有一个、有些、有一个、有的、对某些”等→存在量词∃。 2、符号化：全称量词命题 ∀x∈M, p(x)；存在量词命题 ∃x∈M, p(x)。 3、判断真假 · 全称量词命题为真：M中每一个x都使p(x)成立；为假：举一个反例即可。 · 存在量词命题为真：在M中找到一个x使p(x)成立；为假：M中没有一个x使p(x)成立。 教师补充易错点： ① 误把“x>3”这类含变量、未限量词的语句当作命题； ② 判断全称量词命题为真时，只举一个例子就认为成立； ③ 判断存在量词命题为真时，错误地要求“所有元素都成立”； ④ 符号∀（倒A，All）与∃（反E，Exists）的书写与含义混淆。 1、重做例1、例2并标注判断依据； 2、整理两类命题的“识别—符号—判真假”三步法； 3、在错题本上记录“举反例”“找正例”两类典型错误。 把例题经验提升为可迁移的方法步骤，并用易错点清单强化自我监控。 课堂 练习 【教材第28页 练习】 1、判断下列全称量词命题的真假： (1) 每个四边形的内角和都是360°； (2) 任何实数都有算术平方根； (3) ∀x∈{y|y是无理数}，x³是无理数。 【答案】(1) 真命题（四边形内角和均为360°）；(2) 假命题（负数没有算术平方根）；(3) 假命题（如x=³√2是无理数，但x³=2是有理数）。 2、判断下列存在量词命题的真假： (1) 存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2) 至少有一个整数n，使得n²+n为奇数； (3) ∃x∈{y|y是无理数}，x²是无理数。 【答案】(1) 真命题（如菱形的对角线互相垂直）；(2) 假命题（n²+n=n(n+1)必为偶数）；(3) 真命题（如x=π是无理数，x²=π²也是无理数）。 【变式辨析】 判断下列语句是否为命题，若是，指出是全称量词命题还是存在量词命题： (1) x²+x>0；(2) ∀x∈R，x²+x>0；(3) 有的平行四边形是正方形。 【答案】(1) 不是命题；(2) 全称量词命题（假，当x=−1/2时x²+x=−1/4<0）；(3) 存在量词命题（真）。 1、独立完成教材练习，同桌互改； 2、重点说明(2)“负数没有算术平方根”“n(n+1)为偶数”的理由； 3、变式题先判断是否为命题，再判断类型与真假。 当堂检测核心目标：识别命题、区分两类量词命题、正确判真假；变式题回扣“含变量未限量词不是命题”这一前提。 课堂 小结 教师引导回顾，构建知识框架： 一、量词的意义 · 全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”，符号 ∀。 · 存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”，符号 ∃。 二、两类命题的形式 · 全称量词命题：∀x∈M, p(x)（对M中任意一个x，p(x)成立）。 · 存在量词命题：∃x∈M, p(x)（存在M中的元素x，p(x)成立）。 三、真假判断 · 全称量词命题：真——M中每个x都满足；假——举一个反例。 · 存在量词命题：真——M中找到一个x满足；假——M中没有一个x满足。 教师强调：判断真假时，“全称”关注全部，“存在”关注个别；举反例是否定全称量词命题的常用方法，找正例是肯定存在量词命题的常用方法。 1、跟随教师口头梳理； 2、独立绘制思维导图，对比∀与∃的含义、形式与真假判断； 3、自评：能否识别量词、正确写出符号、正确判真假。 形成结构化认知，对比记忆两类量词命题，为下一节“含量词命题的否定”作铺垫。 作业 布置 1、教材第31页 习题1.5 复习巩固第1、2题（判断全称、存在量词命题的真假）； 2、教材第31页 习题1.5 复习巩固第3题前两小题； 3、预习1.5.2《全称量词命题和存在量词命题的否定》：思考命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是什么。 记录作业，课后独立完成；预习题先尝试写出否定，下节课交流。 分层作业巩固本节判真假的方法；预习题制造悬念，为下一节命题否定的学习作准备。 板书 设计 1.5.1 全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题 量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 形式：∀x∈M, p(x) 判真假：真——个个成立；假——举一反例。 二、存在量词与存在量词命题 量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、有的 符号 ∃ 形式：∃x∈M, p(x) 判真假：真——找到一个；假——一个也没有。 学科网（北京）股份有限公司 $