精品解析：湖北省襄阳市第四中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

2026级高一上10月质量检测 数学试题 本试卷共4页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域．答在试题卷、草稿纸上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式：的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 7. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，且当时．若存在实数，同时满足和，则所有满足条件的实数构成一个闭区间，该区间的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 10. 设狄利克雷函数，符号函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若条件，条件，则是的________．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件） 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16. 已知函数是上的偶函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上10月质量检测 数学试题 本试卷共4页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域．答在试题卷、草稿纸上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 2. 若，，为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果. 【详解】∵函数，∴定义域， ∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D； 当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 4. 关于的不等式：的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，即， 故，解得. 5. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知“，”为真命题，从而得或即可求解. 【详解】根据命题的否定可知“，”为真命题，所以有或，解得或. 所以实数的取值范围是 6. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 7. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得是奇函数且单调递增，则不等式可等价于，即对恒成立，再利用基本不等式即可求解. 【详解】的定义域为，且，是奇函数， 且在上单调递增， 则不等式等价于， ，即对恒成立， ，当且仅当，即时等号成立， . 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查利用奇偶性、单调性以及基本不等式解不等式，解题的关键是判断出函数的奇偶性和单调性将不等式化为，得出对恒成立，利用基本不等式求解. 8. 设是定义在上的奇函数，且当时．若存在实数，同时满足和，则所有满足条件的实数构成一个闭区间，该区间的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合，将转化为，求得所有满足条件的实数构成的闭区间，并求得其长度. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 且当时，，且单调递增， 所以当时，，，且单调递增. 所以函数是上的增函数. 由，得，所以. 当时，； 当时，. 所以， 所以，即， 所以，. 所以. 所以所有满足条件的实数构成的区间的长度为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 10. 设狄利克雷函数，符号函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用狄利克雷函数、符号函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A：若，，因此； 若，则，； ，故对任意的，，故A正确； 对于B：若为无理数，则，，此时，故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立， 而当为无理数时，，此时，故C错误； 对于D，当为无理数时，也为无理数，此时， 当为有理数时，也为有理数，此时， 故对任意的，， 当时，，则，，此时； 当时，，则，，此时； 当时，. 故对任意的，， 综上所述，对任意的，，故D正确. 11. 已知a，b均为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】因为，均为正实数，且， 对A, ，当且仅当时取“=”，正确； 对B， ，当且仅当时取“=”，正确； 对C， ，当且仅当时取“=”，错误； 对D， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”，正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若条件，条件，则是的________．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分条件 【解析】 【分析】先由绝对值不等式和二次不等式的解法，求得，， 再结合集合与集合的关系即可得解. 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得，即，即， 又集合是集合的真子集， 即是的必要不充分条件， 故答案为必要不充分条件. 【点睛】本题考查了绝对值不等式和二次不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题. 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断，然后每一项都除以，得到不等式，等号两边同时除以得，得出的关系，然后代入不等式中，解出即可. 【详解】因为，故，所以，，所以，所以有，解不等式得，故的取值范围是 故答案为： 14. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【详解】①若时，即当时，， 因为二次函数开口向上且对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，且， 当时，，且，此时，函数无最小值； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得，， 解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得， 因为，解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. 【小问2详解】 因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16. 已知函数是上的偶函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递增.证明如下： 由（1）知. 设任意的，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 若函数是上的偶函数， 则，即， 解得，验证知符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增. 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以即， 解得，即的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过判别式小于0恒成立求解即可； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）通过讨论，，求解即可. 【小问1详解】 由得， 由的解集为， 得：，解得：； 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 . 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. 【小问3详解】 不等式，即，可得， 且，可得， 由题意存在，使得不等式有解，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）且说明，关于对称轴对称,进而利用换元法，利用基本不等式1的代换可求的最小值； （3）分，和，结合二次函数的性质可求得函数在区间上的最大值． 【小问1详解】 设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ． 【小问2详解】 ， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为． 【小问3详解】 ，其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解方程即可； （2）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解不等式即可； （3）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围. 【小问1详解】 已知，分两类讨论： ① 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意； ② 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意. 综上，方程的解为或. 【小问2详解】 分四类讨论： ① 当时，，结合， 得，不等式恒成立； ② 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ③ 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ④ 当时，，，故，不等式无解. 综上，不等式的解集为 . 【小问3详解】 分两类讨论： ①当时，，， 不等式整理为恒成立. 令，，则， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 故右端最小值为，得； ② 当时，，，不等式整理为恒成立. 令，，则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，故，得. 结合，综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $