精品解析：湖北省武汉市育才高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027 学年度武汉市育才高中 10 月高一训练 数　学 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的、表示同一集合的是（ ） ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 2. 有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ③④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【详解】① 集合中元素无序，正确； ② 任何集合都是它自身的子集， 正确； ③ 不含任何元素，而 含一个元素 ，故 ，错误； ④ 含元素 ，不是空集，错误； ⑤ 空集是任何集合的子集，正确； ⑥ ， 正确． 所以不正确的是 ③④． 3. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 4. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 5. 已知集合 ，，则（ ） A.  B.  C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，其分子为全体奇数； ，其分子为除以 余 的整数，都是奇数， 所以 ；又 （ 时），但 （ 无整数解）， 所以 ． 6. 已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 7. 已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和已知可逐项分析排除得到的答案. 【详解】且，则，， A，则，错误； B. ，正确 C. 若，则，错误； D. 若，则，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题. 8. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. “ ”是“ ”的充分不必要条件 C. “， ”的否定是“， ” D. 命题“， ”是假命题 【答案】AB 【解析】 【分析】逐项判断：A、B检验充分性和必要性两个方向；C注意全称量词命题的否定只否定结论、不改范围；D用零点存在定理判断方程是否有解． 【详解】对于A，，但时可能、，所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，即；反之取，但不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，“， ”的否定应为“， ”，故C错误； 对于D，令，，，所以方程在区间内有解，即，使，所以命题为真，故D错误. 10. 对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，取，，则，即，故A为假命题； 对于B，取，，，， 则，，，故B为假命题； 对于C，当时，在两边同时乘以得， 在两边同时乘以得，所以，故C为真命题； 对于D，由题意得， 因为，所以，，，， 所以，即，故D为真命题． 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，且 中只有 ，，所以 ，解得 ． 此时 ，，符合题意． 13. 命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【详解】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时， 不成立，此时原命题为真，不符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 14. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围. 【详解】变形为， 故在上有解， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 由 得 ，解得 或 ， 所以解集为 ． 【小问2详解】 原不等式即 ，因为 ，且二次项系数 ， 所以对任意 都有 ，解集为 ． 【小问3详解】 由 得 ，即 ，也就是 ， 解得 ，所以解集为 ． 16. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 【答案】（1），. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【小问1详解】 利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. 【小问2详解】 依题意：或，或， 所以． 17. 解下列关于 的不等式（）：． 【答案】① 当 时，解集为 ； ② 当 时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为 ； ③ 当 时，． 【解析】 【分析】因式分解为 ，按 、、 以及 与 的大小分类讨论． 【详解】原不等式即 ． ① 当 时，，解集为 ； ② 当 时，不等式即 ： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； ③ 当 时，不等式即 ，又 ， 解集为 ． 18. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）不是“完美集”， 是“完美集”； （2）； （3）“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【小问1详解】 （1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； 【小问2详解】 是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以； 即的取值范围是； 【小问3详解】 若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度武汉市育才高中 10 月高一训练 数　学 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组中的、表示同一集合的是（ ） ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ③④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 3. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 5. 已知集合 ，，则（ ） A.  B.  C. D. 6. 已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. “ ”是“ ”的充分不必要条件 C. “， ”的否定是“， ” D. 命题“， ”是假命题 10. 对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 13. 命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 14. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 16. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 17. 解下列关于 的不等式（）：． 18. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $