湖北省襄阳市第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

襄阳五中2029届高一上学期9月月考 数学考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则与大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，均为正实数，则的最小值为（ ） A．3 B．7 C．8 D．9 6．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 7．设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ） A．45 B．49 C．53 D．62 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为．用表示有限集的元素个数．下列命题中正确的是（ ） A．若，则； B．存在集合，使得； C．若，则； D．若，则． 11．下列说法正确的是（ ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________． 13．已知实数，满足且，则的最大值为__________． 14．已知，，，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围． （2）若真假，求实数的取值范围． 16．（15分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为．类似的，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）若集合，集合，且，求实数的取值范围． 17．（15分）如图1，长方形的周长为12． （1）若，点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知二次函数． （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，，且，求不等式的解集； （3）若对任意，恒成立，求的最大值． 19．（17分）设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳五中2029届高一上学期9月月考 数学考试答案 1-4．DACB 5-8．DCDA 9．BC 10．AC 11．ACD 12． 13．4 14．2 15．（1）若命题是真命题，则对恒成立，即对恒成立．当时，，所以，即． （4分） （2）若命题是假命题，则：，使得为真命题． 即关于的方程有正实数根． 当时，有正实数根； 当时，依题意得，即， 设两根为、， ①当方程有两个正实数根时，，且，解得，此时； ②当方程有一正一负两个实数根时，，解得，综上所述，． （10分） 因为真假，所以实数的取值范围是． （13分） 16．（1），，根据差集概念，，令，再根据差集概念得： （3分） （3）因为，所以． 由可得． 当时，，不等式不成立，此时，满足． （5分） 当时，． 因为，所以．解，因为，此不等式恒成立． 解，两边同乘得，即．结合，则． （9分） 当时，． 因为，所以． 解，两边同乘（不等号变向）得，即． 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取． （13分） 综上，的取值范围是或或． （15分） 17．（1）由题意，长方形的周长为，，所以， 设，则，所以， 由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值是 （3分） （2）（ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以， 所以， 所以的周长为； （6分） （ⅱ）设，则， 由可得，解得． 由（ⅰ）知，， 在中，有，解得， 则 （10分） ， （13分） 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时 （15分） 18．（1）因为的解集，所以的根为1和2，且． 所以，，故，，所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立，所以，解得或， 又，所以，所以实数的取值集合为． （4分） （2）因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，，，，所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为． （10分） （3）令，则，所以， （12分） 对任意，恒成立，所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以，当且仅当，，时取等号， 此时成立； 故的最大值为． （17分） 19．（1）令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合 （3分） （2）证明：假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． （5分） （3）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则．因为， 由题设条件，得，因为， 所以由（2）可得，这与为中不超过50的最大元素矛盾， 所以，又因为，， 所以． （14分） 任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾： 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $