精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高一上学期10月期中测试数学试题

高一数学期中测试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关系正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A. ①②⑧ B. ③⑦ C. ④⑤⑥ D. ④⑤⑧ 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 25 8. 已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（ ）个 A. 3 B. 7 C. 8 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中为真命题的有（ ） A. “四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B. 若是无理数，则也是无理数. C. 若，则实数的值为1或2. D. ，则的子集个数是4个. 11. 已知正数，满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，则满足的集合共有__________个. 13. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 14. 正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）解不等式：； （2）解方程：. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）证明：； （3）已知数集具有性质，若，，求数集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中测试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义进行求解. 【详解】已知，，所以， 又因为，所以. 2. 已知：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】已知命题为全称量词命题：， 根据全称量词命题的否定规则，需将全称量词“”改为存在量词“”， 并否定结论（“”改为“”），条件“”保持不变， 所以命题的否定是：. 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，令， p的充分不必要条件对应的取值集合应为M的真子集，故选项A正确. 4. 下列关系正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A. ①②⑧ B. ③⑦ C. ④⑤⑥ D. ④⑤⑧ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与元素、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于①，因为，故①不正确； 对于②，因为，故②不正确； 对于③，因为，故③不正确； 对于④，把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤，把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥，把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦，把看作集合，可得，把看作元素，可得，故⑦不正确. 对于⑧，因为且不是中的元素；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确，故C正确. 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以； ，所以； 图中阴影部分表示的集合为集合在中的补集， 从而阴影部分表示的集合为，即. 6. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用权方和不等式结合题设可得答案. 【详解】由权方和不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 所以z的最小值为. 8. 已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（ ）个 A. 3 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据必有，及即可列举出所有满足条件的，进而得解． 【详解】解：根据题意得： ，共7个 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，由，得，则，所以，即故A正确； 对于选项B，由，得，故B错误； 对于选项C，由，得，故C正确； 对于选项D，由，得，故D正确. 10. 下列命题中为真命题的有（ ） A. “四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B. 若是无理数，则也是无理数. C. 若，则实数的值为1或2. D. ，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 11. 已知正数，满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可. 【详解】对于A，由，得， 又，，所以，所以，即，A错误. 对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为，B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，C正确. 对于D，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，则满足的集合共有__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】结合已知条件可知，，然后分类讨论集合中元素的个数即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当只有1个元素时，则； 当只有2个元素时，则，，； 当只有3个元素时，则，，； 当只有4个元素时，则； 综上所述，所求集合共有8个. 故答案为：8. 13. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 14. 正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 取等号时，即， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）解不等式：； （2）解方程：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式解法得解; （2）去分母转化为一元一次方程得解. 【详解】（1）， 解得， 所以原不等式的解集为. （2）， 又，所以 则方程的解集为. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）确定集合、，根据并集的概念求解. （2）确定集合、的关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由或，所以； 当时，由，所以. 所以 【小问2详解】 由，所以. 若，则方程无解，所以； 若，则； 若，则. 综上可得：的取值范围为或. 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 19. 已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. （1）分别判断数集与是否具有性质； （2）证明：； （3）已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】（1）不具有性质，具有性质； （2） 由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）数集中任取元素验证性质判断； （2）由性质证不成立，则成立； （3）由性质从小到大逐个构造数集中的元素. 【小问1详解】 对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $