精品解析：吉林长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2026-2027学年高一上学期10月期中数学试题

2026—2027学年上学期高一年级 期中考试数学学科 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 4. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 11. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（ ） A. 若点为“靓点”，则点也为“靓点” B. 若点为“靓点”，则的最小值为 C. 当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D. 已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的解析式为______. 13. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 14. 已知正数，满足，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 16. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 17. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知正数，满足，求的最大值． 18. 已知函数 （1）若关于的不等式的解集是或，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设函数，，对于，都有成立；同时也，使成立，求满足条件的实数的取值范围. 19. ，分别用和表示，中的较大者和较小者，记为，． （1）若函数，． ①求的值； ②已知函数，求的值域． （2）已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期高一年级 期中考试数学学科 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于定义在集合中的任意一个x，在集合中都有唯一确定的y与之对应，函数的定义域为，值域为集合Q的子集. 对于A，，定义域不符，A错误； 对于B，时，一个x对应两个y值，B错误； 对于C，时，对应了两个y值，C错误； 对于D，，，值域是集合Q的子集，每个x都有唯一的y与之对应，D正确. 4. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的规则，列不等式求解即可. 【详解】的定义域是，则， 对于，的取值范围和中的范围一致， 即：，解得， 故的定义域是. 5. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 6. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可. 【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙， 因为丙是乙的充要条件，所以丙乙，即甲丙， 又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁， 所以甲丁，即丁是甲的必要不充分条件. 故选：B 7. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到方程，结合函数图象经过原点求得函数解析式，由不等式的性质得到的大小关系，利用函数的单调性即可得结果. 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以． 故选：A． 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由得，又因为，所以，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，若，则，不等式两边开方得； 当时，，所以；当时，，所以，D正确； 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误； 对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确； 对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确； 对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况： ①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； ②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； ③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立； ④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立． 综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误． 故选：BC. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解. 11. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，判断下列说法正确的是（ ） A. 若点为“靓点”，则点也为“靓点” B. 若点为“靓点”，则的最小值为 C. 当时，关于x的函数（k，m为常数，且k不为）的图象上总存在两个不同的“靓点” D. 已知关于x的二次函数（a为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，且满足，则a的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入靓点变形式，判断选项A；由于缺少正数限制，可取负数，此时无最小值，从而判断选项B；联立直线与靓点方程，证明判别式恒大于0，总有两个不同实根对应靓点，从而判断选项C；联立抛物线与靓点方程，因式分解结合韦达定理与平方和条件求a并检验根的个数，判断选项D． 【详解】由“靓点”定义，等价于，是中心在的等轴双曲线， 若点是“靓点”，则，代入点， ，满足靓点定义， 因此Q也是靓点，A正确； 由基本不等式，若，则 ，最小值为4， 当时，可以趋向负无穷，无最小值，故B错误； 联立与得，， ， 视为关于的二次函数，则其判别式， 故对任意恒成立，方程总有2个不同实根，且代入方程得， 两根均不为1，对应两个不同靓点，故C正确； 靓点满足，联立二次函数，整理得 ， 因式分解得，即一个根为，另外两根为二次方程的根， 由条件，结合点代入两边抵消，得， 由韦达定理， 则， ， 故， 化简得，有三个不同交点， 故，解得或， 故（舍去），，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【解析】 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将题中条件等价于在区间上，，再根据对勾函数的性质得到，再根据二次函数的性质得到在上的最大值一定在或上取得，进而分和两种情况讨论即可得到答案． 【详解】对，总，使得成立， 等价于在区间上，， 结合对勾函数的性质，在上单调递增，则， 由是开口向上，对称轴为的二次函数， 则在上的最大值一定在或上取得， 由，， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 综上，的取值范围是． 14. 已知正数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用已知化简，再结合基本不等式计算求解. 【详解】正数，满足， 所以，化简得， 所以， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以， 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 【答案】（1），． （2）或，． 【解析】 【小问1详解】 由题意知或， ， ， ，. 【小问2详解】 由题意，或. ，. 16. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性列式计算即得； （2）利用函数的单调性定义计算判断即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； 【小问2详解】 略 17. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知正数，满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） （或） 【解析】 【分析】（1）凑项构造和为定值的形式，利用基本不等式求最小值； （2）通过1的代换构造乘积为定值的结构，结合基本不等式求最小值； （3）利用完全平方公式将原式转化为关于的二次函数，结合基本不等式确定的范围，再求二次函数的最大值 【小问1详解】 由得，， 则， 当且仅当，即（舍去负值）时等号成立，所以的最小值为. 【小问2详解】  因为，且， 则, 当且仅当即时取等号， 故最小值为. 【小问3详解】 因为，且， 由完全平方公式得， 则原式， 令，原式化为 由基本不等式得， 即，解得，即， 二次函数开口向下，对称轴为直线，， 故在上单调递增， 当时，取最大值， 当且仅当即时取等号，故最大值为. 18. 已知函数 （1）若关于的不等式的解集是或，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设函数，，对于，都有成立；同时也，使成立，求满足条件的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）时，不等式解集为， 时，不等式解集为， 时，不等式解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由解集确定，再结合一元二次方程韦达定理即可求解； （2）将不等式转换成，根据的取值分类讨论即可； （3）通过分离参数得到，，和，，进而求解即可. 【小问1详解】 由的解集为或， 可知，且方程的两根为和， 所以， 解得： 【小问2详解】 由， 得 当时，不等式为，解得； 当时，， 当时，若，即，不等式解集为或； 若，即，不等式的解集为； 若，即，不等式的解集为或； 当时，则，不等式的解集为， 综上所述：时，不等式解集为， 时，不等式解集为， 时，不等式解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式解集为 【小问3详解】 由条件可得：， ，使成立， 即，， 分离参数得到， 令， 当时，， 当时，令，则， 则， 当且仅当时，取等号， 所以在时，最小值为， 所以 由条件可得：， 因为，都有成立， 即，恒成立， 又，当时取得最小值， 所以， 综上可知： 19. ，分别用和表示，中的较大者和较小者，记为，． （1）若函数，． ①求的值； ②已知函数，求的值域． （2）已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据定义求解即可； ②求出的解析式，根据二次函数及一次函数的性质求解即可； （2）由题可得，其中，，结合二次函数、一次函数及恒成立，可得，求解即可. 【小问1详解】 ①由题， ， 所以； ②当时，， 当时，． 所以， 由，解得或； 由，解得， 所以， 所以时，单调递减，所以； 当时，，则； 当时，单调递增，， 所以的值域为． 【小问2详解】 令， 解得，， 所以． 因为，所以， 因为， 即在上恒成立， 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又因为在上单调递减，最大值为， 所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $