精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

高一期中数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值. 【详解】当时，，满足. 当时，，要使， 则需或，解得或， 综上所述，的所有可能的取值组成的集合为. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 4. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把分式不等式转化为整式不等式，结合二次不等式的求解方法可得解集. 【详解】不等式等价于，解之得. 故选：B. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，分式不等式一般转化为整式不等式进行求解，转化时需要注意等价性，不要忽视了分母不为零，侧重考查数学的核心素养. 6. “”是“是定义在上的奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明充分性不成立，利用奇函数的性质说明必要性，从而得解. 【详解】当时，取，易知的图象不关于原点对称， 所以不是定义在上的奇函数，即充分性不成立； 当是定义在上的奇函数，由奇函数的性质可知，即必要性成立； 所以“”是“是定义在上的奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 8. 若不等式对所有的实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可求得实数的取值范围. 【详解】因为不等式对所有的实数都成立，分以下两种情况讨论： 当时，则有，解得，不合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据时不成立说明选项A错误，利用不等式的性质判断选项B，结合题目条件和作差法判断选项C和D. 【详解】A.当时，，故选项A错误. B. ∵，，∴， ∵，，∴，∴.故选项B正确. C. ∵，∴，∵，∴， ∴.故选项C正确. D. ∵， ∴, ∴.故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算得集合关系，从而列不等式求解即可. 【详解】因为，所以，又，，所以. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于递减，因此必须递增，即有，还要考虑函数定义域，即在时，恒成立． 【详解】∵，∴是减函数，又在上单调递减，所以， 且，∴． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域． 14. 设正数a，b满足， ，则的最大值是________. 【答案】18 【解析】 【分析】变形已知，利用基本不等式构造， 由化简可得解. 【详解】， ，， 当且仅当即 或时等号成立. 故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值. 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形; (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 四、解答题（共77分） 15. 已知f(x)＝x2＋2x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】讨论二次函数的对称轴和区间[t，t＋1]的位置关系即可得最值. 【详解】∵函数图象的对称轴为x＝－1， (1)当t＋1≤－1，即t≤－2时， h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋2(t＋1)－5＝t2＋4t－2， 即h(t)＝t2＋4t－2(t≤－2)． (2)当t≤－1<t＋1，即－2<t≤－1时， h(t)＝f(－1)＝－6. (3)当t＞－1时，h(t)＝f(t)＝t2＋2t－5. 综上可得，h(t)＝ 【点睛】本题主要考查了二次函数的轴定区间动的最值问题，属于基础题. 16. 已知集合，，若． （1）求实数a的取值范围； （2）求的最值． 【答案】（1）；（2）最小值，最大值18． 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A,利用绝对值不等式的解法化简集合B,根据交集的性质列不等式求解即可；（2）由（1）得，则，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知 , 解得 故所求的的取值范围是[1，2] （2）∵ 由（1）得，则 ∴当时，即时，； 当时，即时， 故的最小值为；最大值为 【点睛】关键点点睛：根据集合的交集结果求参数，一般需要求出集合，根据结果建立不等式，即可求出参数的取值范围，属于中档题. 17. 已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. （1）求的表达式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当时的解析式，即可得到结果； （2）根据定义证明函数在上单调递增，然后再结合是定义在上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果. 【小问1详解】 设，则，因为时，， 所以 又因为是定义在上的奇函数， 即 所以当时， 综上，的表达式为 【小问2详解】 由（1）可知，， 设在上任取两个自变量，令 则 因为，则，所以 所以函数在上单调递增. 即， 由是定义在上的奇函数，可得 即，由函数在上单调递增， 可得恒成立， 当时，即，满足； 当时，即，解得 综上，的取值范围为 18. 已知，且． （1）请给出的一组值，使得成立； （2）证明不等式恒成立． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）由题意可知,,因为,所以. 所以,即. 因为,所以, 因为,所以, 所以. 【解析】 【分析】（1）找到一组符合条件的值即可； （2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证. 【详解】（1）（答案不唯一） （2）略 【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用. 19. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）; （2）100（百辆），2300万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 . 【小问2详解】 当时，， 故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“是定义在上的奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对所有的实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则实数k的取值范围是______. 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______． 14. 设正数a，b满足， ，则的最大值是________. 四、解答题（共77分） 15. 已知f(x)＝x2＋2x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式． 16. 已知集合，，若． （1）求实数a的取值范围； （2）求的最值． 17. 已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. （1）求的表达式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知，且． （1）请给出的一组值，使得成立； （2）证明不等式恒成立． 19. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $