专题11圆的有关概念同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题11圆的有关概念同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆：两种定义，确定圆的条件（圆心、半径） 2.圆中的线段：弦、直径 3.圆中的弧：弧、半圆、劣弧、优弧 4.圆的关系：等圆、等弧 5.点与圆的位置关系：数量判定、距离最值 本节先从动态、集合两个角度认识圆，研究圆心、半径对圆的确定；再认识圆中的线段与弧，辨析等圆、等弧的限定条件；最后通过点到圆心的距离和半径的大小关系，研究点与圆的位置关系以及定点到圆上点的距离最值。 ✺学习目标 1.掌握圆的描述性定义与集合定义，理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 2.能够识别弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧，掌握弧的规范记法，辨析易混淆概念。 3.理解等圆、等弧的概念，明确等弧成立的前提条件。 4.掌握点与圆的三种位置关系，能利用距离与半径的数量关系判定位置、求解参数、解决定点到圆上点的距离最值问题。 5.识别常见概念误区，运用核心概念解决课内基础及拓展培优题型。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.判断点与圆的位置关系 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 题型8.已知半径和圆上两点作圆 题型9.点与圆上一点的最值问题 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点 01 圆的定义 1.描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O为圆心，线段OA为半径，记作⨀O，读作 “圆O”。 2.集合定义：圆心为O、半径为r的圆，是平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 两层含义： ①圆上任意一点到圆心的距离等于半径； ②平面内到圆心距离等于半径的点，必在该圆上。 备注：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点 02 弦与直径 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.直径：经过圆心的弦叫做直径。 备注：直径是圆中最长的弦；直径一定是弦，弦不一定是直径。 知识点 03 弧、半圆、劣弧、优弧 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 3.劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 4.优弧：大于半圆的弧，需用三个字母表示，防止歧义。 备注：半圆既不属于劣弧，也不属于优弧。 知识点 04 等圆与等弧 1.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。 2.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 等弧的前提：同圆或等圆，且能够完全重合；长度相等的弧不一定是等弧。 知识点 05 点与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，点A.B.C到圆心O的距离为d： 1.点C在圆外 ⇔d>r； 2.点B在圆上 ⇔d=r； 3.点A在圆内 ⇔d<r。 备注：上述关系双向等价；定点与圆上点存在距离的最大值和最小值。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 2．如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 3．如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 3．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 题型4.圆的周长和面积问题 1．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 2．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（取3）． (1)圆形团扇的半径为________，正方形团扇的边长为_______； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 3．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 题型6.判断点与圆的位置关系 1．圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 2．已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 3．体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 1．已知的直径为，点在内，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 3．如图，在中，已知，，． (1)用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； (3)若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 题型8.已知半径和圆上两点作圆 1．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 3．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示． 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆； (2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 题型9.点与圆上一点的最值问题 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 3．问题提出 (1)如图1，已知直线上一点和，请用直尺在上作一点，使得线段的长度最大，不用写出作法； 问题探究 (2)如图2，在四边形中，连接，，，，点是的中点，连接，求线段长度的最大值； 问题解决 (3)如图3所示，有一块由线段、、、围成的绿地，米，，米，，所对的圆心角为，点是上一点．现管理员要沿线段装上彩灯，为使美观且效果达到最佳，要求线段的长度最大，试求的最大值（结果保留根号） ✺课堂小练 一、单选题 1．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 2．已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 二、填空题 4．为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示） 5．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 6．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 三、解答题 7．【背景】4米标准跑道由两条直道（各米）和两个半圆形弯道组成，共条跑道，每条宽米．最内圈（第圈）弯道半径米． 【素材1】小轩计算各跑道内圈边线长度（，结果保留一位小数）： ·第圈：米 ·第圈：米 ·第圈：米 【素材2】小轩沿第1圈边线逆时针跑步，徐教练沿第3圈边线逆时针骑自行车（均按内侧边线计算路程）． 【任务1】 （1）第圈一个半圆形弯道长比第圈一个半圆形弯道长多多少米？ （2）计算第圈跑道全长． 【任务2】 （3）当徐教练跑了不足两圈时，判断两人从起跑线同时出发，徐教练速度与小轩速度之比为，两人行了秒，是否能在直道首次相遇？如果能，请你求出小轩与教练的平均速度（单位：米/秒），如果不能，请你说明理由．（注：相遇条件即两人所在点连线与跑道边线在同侧与直道垂直时视为直道相遇；以上各题中取，结果保留一位小数） 8．如图，在中，，． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若的平分线与边交于点，过点作于点，点为圆心，以的长为半径画圆，与交于点，与的延长线交于点，连接，，请你补全图形．判断四边形的形状，并进行证明． 9．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆的有关概念同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆：两种定义，确定圆的条件（圆心、半径） 2.圆中的线段：弦、直径 3.圆中的弧：弧、半圆、劣弧、优弧 4.圆的关系：等圆、等弧 5.点与圆的位置关系：数量判定、距离最值 本节先从动态、集合两个角度认识圆，研究圆心、半径对圆的确定；再认识圆中的线段与弧，辨析等圆、等弧的限定条件；最后通过点到圆心的距离和半径的大小关系，研究点与圆的位置关系以及定点到圆上点的距离最值。 ✺学习目标 1.掌握圆的描述性定义与集合定义，理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 2.能够识别弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧，掌握弧的规范记法，辨析易混淆概念。 3.理解等圆、等弧的概念，明确等弧成立的前提条件。 4.掌握点与圆的三种位置关系，能利用距离与半径的数量关系判定位置、求解参数、解决定点到圆上点的距离最值问题。 5.识别常见概念误区，运用核心概念解决课内基础及拓展培优题型。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.判断点与圆的位置关系 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 题型8.已知半径和圆上两点作圆 题型9.点与圆上一点的最值问题 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点01圆的定义 1.描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O为圆心，线段OA为半径，记作⨀O，读作 “圆O”。 2.集合定义：圆心为O、半径为r的圆，是平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 两层含义： ①圆上任意一点到圆心的距离等于半径； ②平面内到圆心距离等于半径的点，必在该圆上。 备注：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点02弦与直径 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.直径：经过圆心的弦叫做直径。 备注：直径是圆中最长的弦；直径一定是弦，弦不一定是直径。 知识点03弧、半圆、劣弧、优弧 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 3.劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 4.优弧：大于半圆的弧，需用三个字母表示，防止歧义。 备注：半圆既不属于劣弧，也不属于优弧。 知识点04等圆与等弧 1.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。 2.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 等弧的前提：同圆或等圆，且能够完全重合；长度相等的弧不一定是等弧。 知识点05点与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，点A.B.C到圆心O的距离为d： 1.点C在圆外 ⇔d>r； 2.点B在圆上 ⇔d=r； 3.点A在圆内 ⇔d<r。 备注：上述关系双向等价；定点与圆上点存在距离的最大值和最小值。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 2．如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 【答案】 /56度 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆的性质和等边对等角可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 、是的半径， ， ， ． 3．如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)证明：连接，，，如图， ∵、分别是半径、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）连接，，，先利用“”证明，再利用“”证明，问题得证； （2）结合（1）中的结论，先得出，再证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是半径的中点，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 3．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆中最长的弦，确定弦长的取值范围后判断选项． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的直径为 ∵圆中最长的弦是直径， ∴弦的长度取值范围是， ∵， ∴测量结果不可能是． 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 【答案】6 【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，的值最大． ∵当为的直径时值最大，此时， ∴的最大值为6． 题型4.圆的周长和面积问题 1．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 【答案】B 【分析】圆规两脚间的距离是所画圆的半径，根据圆的周长公式计算半径即可得到答案，π取3.14． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离等于 厘米． 2．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（取3）． (1)圆形团扇的半径为________，正方形团扇的边长为_______； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2) 圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：， ， ， ， 圆的周长较小，即圆形扇面所用的包边长度更短． 【分析】（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）设圆形团扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得：，， ， ，， ； （2） 略 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 3．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【答案】(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 题型6.判断点与圆的位置关系 1．圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点到圆心的距离与圆的半径相等， ∴点在上． 2．已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【答案】 外 上 【分析】先求出的半径，再比较与半径的大小，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的直径为， 的半径， 当时， ， 点在外； 当时， ， ∴点在上； 当点在内时，根据点与圆的位置关系可得． 3．体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 【答案】李明投出的铅球落在到之间的区域；王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【分析】根据李明和王芳的铅球成绩分别是和，找到其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴李明投出的铅球落在到之间的区域， 王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，关键是根据和分别求出其所在的范围． 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 1．已知的直径为，点在内，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点在内， ∴， 四个选项中，符合要求． 2．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 3．如图，在中，已知，，． (1)用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； (3)若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)， (3) 【分析】此题考查了尺规作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，点和圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作出的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即为所求； （2）根据劣弧的定义求解即可； （3）当经过点C时，求出，然后勾股定理求出，然后求出当经过点B时，，进而求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由作图得， ∵， ∴ ∴是的外接圆； （2）解：中的劣弧为，； （3）解：当经过点C时，； ∵，， ∴ 当经过点B时，； ∴当的半径r满足时，点B和点C有且只有一个点在内． 题型8.已知半径和圆上两点作圆 1．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示． 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆； (2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 【答案】(1) 解：如图所示： 即为所求； (2) 解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示： 拱线的跨径长为，高为， 、、， 设拱线的表达式为， 将代入表达式得，解得， 拱线所在的抛物线对应的函数解析式为， 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上． 【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． （1）选取拱线上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作圆即可得到答案； （2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线所在的抛物线对应的函数解析式为，再将，，，的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与值相等即可得到答案． 【详解】（1）略 （3） 略 题型9.点与圆上一点的最值问题 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 2．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【答案】 【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可． 【详解】解：∵点是外的点， ∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径， ∴的直径为， ∴的半径为． 3．问题提出 (1)如图1，已知直线上一点和，请用直尺在上作一点，使得线段的长度最大，不用写出作法； 问题探究 (2)如图2，在四边形中，连接，，，，点是的中点，连接，求线段长度的最大值； 问题解决 (3)如图3所示，有一块由线段、、、围成的绿地，米，，米，，所对的圆心角为，点是上一点．现管理员要沿线段装上彩灯，为使美观且效果达到最佳，要求线段的长度最大，试求的最大值（结果保留根号） 【答案】(1)点如图所示； (2)3 (3)最大值为米 【分析】（1）连接并延长交于点，由三角形三边关系可得，即为最长的线段； （2）作线段的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据中位线的性质得，当、、三点在一条直线上时，的长最大； （3）连接，过的中点作交于点，在上找一点，使得，过点作于点，易得四边形是矩形，设点是上一点，连接、、，连接并延长交于点，由，得当点、、在一条直线上时，的长最大，即的最大值为，再解直角三角形求． 【详解】（1）解：略 （2）解：作线段的中点，连接、， ， ∴在中，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 当、、三点在一条直线上时，的长最大， ； （3）解：连接，过的中点作交于点，在上找一点，使得， 则点为所在圆的圆心，，， 设点是上一点，连接、、，连接并延长交于点， ， 当点、、在一条直线上时，的长最大，即的最大值为， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在中，，， 过点作于点，易得四边形是矩形， ，， ∵在中，，， ， ， ∴在中，， ． 的最大值为米． ✺课堂小练 一、单选题 1．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 【答案】A 【详解】解：∵圆规两脚间的距离为所画圆的半径，两脚间距离为． ∴该圆的半径为． 2．已知点P在外，且的半径为5，则的长可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：点在外，的半径为5， ， 的长可能是6． 3．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 二、填空题 4．为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】利用面积求出圆的半径，根据周长公式计算出栅栏总长度即可． 【详解】解：设圆形花圃的半径为， 根据题意得， 解得（负值舍去）， 所以所需栅栏的长度为． 5．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 6．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】当点到直线的距离最大时，的面积最大，过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长．根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据等面积法求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由题意知，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 如图，连接． 点为矩形的中心， ，，三点共线， 过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长． 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ， 的最大面积． 三、解答题 7．【背景】4米标准跑道由两条直道（各米）和两个半圆形弯道组成，共条跑道，每条宽米．最内圈（第圈）弯道半径米． 【素材1】小轩计算各跑道内圈边线长度（，结果保留一位小数）： ·第圈：米 ·第圈：米 ·第圈：米 【素材2】小轩沿第1圈边线逆时针跑步，徐教练沿第3圈边线逆时针骑自行车（均按内侧边线计算路程）． 【任务1】 （1）第圈一个半圆形弯道长比第圈一个半圆形弯道长多多少米？ （2）计算第圈跑道全长． 【任务2】 （3）当徐教练跑了不足两圈时，判断两人从起跑线同时出发，徐教练速度与小轩速度之比为，两人行了秒，是否能在直道首次相遇？如果能，请你求出小轩与教练的平均速度（单位：米/秒），如果不能，请你说明理由．（注：相遇条件即两人所在点连线与跑道边线在同侧与直道垂直时视为直道相遇；以上各题中取，结果保留一位小数） 【答案】（1）米； （2）米； （3）不能， 设小轩的平均速度为米/秒，则徐教练的平均速度为米/秒． ∵两人在直道首次相遇时，路程差为第3圈长度加上第3圈与第1圈一个半圆形弯道的长度差， ∴路程差为（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当小轩跑100秒时，路程为米，大于第1圈的一半（米）， ∴他们不能在直道上首次相遇． 【分析】本题主要考查了圆的周长计算、行程问题中的相遇问题以及一元一次方程的应用，熟练掌握圆的周长公式和行程问题中的路程、速度、时间关系是解题的关键． （1）利用圆的周长公式，分别计算第3圈和第1圈半圆形弯道的长度，再求两者的差值． （2）根据跑道的结构，将直道长度和弯道长度相加，计算出第圈跑道的全长． （3）先根据速度比设出两人的速度，再结合相遇条件列出方程，通过求解并验证小轩的路程是否超过半圈，判断能否在直道首次相遇． 【详解】（1）由题意得：（米）， 答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多米； （2）（米） 答：小轩计算的第七圈长约米； （3） 略 8．如图，在中，，． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若的平分线与边交于点，过点作于点，点为圆心，以的长为半径画圆，与交于点，与的延长线交于点，连接，，请你补全图形．判断四边形的形状，并进行证明． 【答案】(1)如图所示：射线即为所求． (2)补全图形，如图所示． 四边形是菱形，证明如下： 平分，，， ，设， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， 平分， ， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）先根据题意补全图形，再根据角平分线的性质得到，由，得到，再证明和是等边三角形，得到，则四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 9．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】(1) (2)45 (3)不变；理由： 如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 的值不变； (4)，5 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质和旋转的性质证明，进而得到、，根据三角形内角和定理得到，再利用三角形中位线定理求出是等腰直角三角形，从而求出的度数； （3）同（2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求出的值； （4）过点D作于点H，以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，根据直角三角形斜边中线的性质求出长，从而求出的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）解：如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， ； （3）略； （4）解：如图2，过点D作于点H， 以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由旋转的性质得：、， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 点为的中点， ， 的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $