专题 29.1.2 过三点的圆同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.1.2 过三点的圆同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】过点作圆的规律（基础考点） 2 【知识点二】三角形的外接圆与外心（核心必考） 2 【知识点三】不同三角形外心的位置规律（高频考点） 2 【知识点四】反证法（拓展考点） 2 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】过点作圆的概念辨析 3 【题型2】外接圆与外心概念判断 5 【题型3】直角三角形外接圆简单计算 7 四、题型精析（综合提升） 8 【题型1】外心位置分类讨论 8 【题型2】外心性质角度综合计算 10 【题型3】反证法规范证明 14 五、中考链接 16 一.学习目标重难点 了解：过一点、两点、三点作圆的基本规律；反证法的基本思想与适用场景。 掌握：不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心、圆内接三角形的核心概念；不同类型三角形外心的位置特征。 综合运用：利用外心性质进行线段、角度计算；掌握反证法的证明步骤；能解决外接圆相关的几何综合问题与实际作图问题。 重点：三点确定一个圆的定理；三角形外接圆与外心的概念及性质；外心的位置规律。 难点：外心性质的综合计算与证明；反证法的逻辑推理与规范书写。 二.知识梳理与解读 【知识点一】过点作圆的规律（基础考点） 1. 经过一个点可以作无数个圆，圆心为该点外任意一点，任意长度为半径均可画圆。 2. 经过两个点可以作无数个圆，所有圆的圆心都在这两点连线的垂直平分线上。 3. 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个圆；经过同一直线上的三个点，无法作圆。 要点提示：三点定圆的核心前提：不在同一直线上，缺少该前提，定理不成立。 ⚠️ 易错警示：切勿直接表述“三点确定一个圆”，必须强调“不在同一直线上”，否则命题错误。 【知识点二】三角形的外接圆与外心（核心必考） 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2. 外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 3. 内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 4. 外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，均等于外接圆半径。 要点提示：任意三角形有且只有一个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。 ⚠️ 易错警示：外心是边的垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心），极易混淆。 【知识点三】不同三角形外心的位置规律（高频考点） 1. 锐角三角形：外心在三角形内部； 2. 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半； 3. 钝角三角形：外心在三角形外部。 要点提示：直角三角形外接圆计算为考试重点，可直接利用“斜边为直径”快速求半径。 ⚠️ 易错警示：只有直角三角形外心在边上，锐角、钝角三角形外心均不在三角形边上。 【知识点四】反证法（拓展考点） 1. 定义：不直接证明命题结论，而是先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 2. 三步解题步骤： ① 反设：假设原命题结论不成立； ② 归谬：根据假设推理论证，得出与已知、定理、公理矛盾的结果； ③ 存真：否定假设，肯定原命题结论正确。 要点提示：常用于证明“唯一性、不存在、至多、至少”类几何命题。 ⚠️ 易错警示：反设必须完全否定原结论，不能片面否定，否则推理无效。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】过点作圆的概念辨析 【例题1】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 解题归纳：紧扣三点定圆定理，牢记“一点、两点无数圆，三点不共线唯一圆”的核心规律。 易错纠正：忽略“不在同一直线上”的前提，是本知识点最常见错误。 【题型2】外接圆与外心概念判断 【例题2】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可． 解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是定圆的条件，三角形的外接圆与外心，掌握确定圆的条件、三角形的外心是各边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可． 解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①说法错误； ②三角形有且只有一个外接圆，故②说法正确； ③三角形的外心是各边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形外心在三角形外部，故③说法错误； ④经过两个定点的圆的圆心在连接两定点的线段垂直平分线上，即在一条定直线上，故④说法正确； 故正确的有②④，共两个， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 解题归纳：区分外心与内心：外心垂直平分线交点，等距顶点；内心角平分线交点，等距边长。 易错纠正：切勿混淆外心、内心的定义和性质，避免距离对应对象出错。 【题型3】直角三角形外接圆简单计算 【例题3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义和勾股定理．圆形纸片完全盖住直角三角形时，最小直径应等于直角三角形的斜边长，据此进行求解即可． 解：直角三角形模具的两条直角边为和， 由勾股定理得，斜边长为． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴圆形纸片的最小直径为． 故答案为：10． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于__________ 【答案】2.5 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，以及外接圆，掌握直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程，得到直角三角形的两条直角边长，再结合勾股定理求出斜边长，即可得到外接圆的半径． 解：， ， 解得：，， 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根， 直角三角形的斜边长为， 此直角三角形外接圆的半径等于， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________． 【答案】6或6.5 【分析】由题意得，此圆形为直角三角形的外接圆，直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一般，分两种情况：①12为斜边长；②5和12为两条直角边长，由勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为：12； 因此这个直角三角形的外接圆半径为6， ②当两条直角边长为5和12，则直角三角形的斜边长为：； 因此这个直角三角形的外接圆半径为6.5 综上所述：这个外接圆的半径为6或6.5 故答案为：6或6.5 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径和勾股定理，解题关键是理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 解题归纳：直角三角形外接圆核心结论：斜边为外接圆直径，半径=斜边÷2，可直接口算求解。 易错纠正：计算时误将直角边当作直径，必须认准斜边为外接圆直径。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】外心位置分类讨论 【例题1】（25-26九年级下·全国·课后作业）分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各个外心与它们所对应的三角形的位置关系． 【答案】锐角三角形的外接圆，如图： 则锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部； 直角三角形的外接圆，如图： 则直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形斜边上，且为斜边的中点； 钝角三角形的外接圆，如图： 则钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部． 【分析】画出相应的三角形，再作出边的垂直平分线，则垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，再画出圆即可． 解：略 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解题的关键是掌握三角形外接圆的作法，正确作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的外接圆． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 解题归纳：外心位置可快速判断三角形类型，三者位置特征一一对应、互不混淆。 易错纠正：只有直角三角形外心在边上，其余两类三角形外心均不在边上。 【题型2】外心性质角度综合计算 【例题2】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，D是边上一点． （1）尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点为点，再以的长为半径画圆，与交于点即可； （2）先得到，再通过等腰直角三角形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：为的直径， ．直径所对的圆周角为 ，， ． 为等腰直角三角形． ， ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 【变式2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式3】（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】（1）证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； （2） （3） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 解：（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 易错纠正：注意区分锐角、钝角三角形的角度对应关系，避免角度翻倍、减半出错。 【题型3】反证法规范证明 【例题3】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）完成下面的证明过程： 用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，，求证： 证明：假设____________________，则与相交， 设与相交于点， 由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线， 这与“__________”矛盾． 所以，假设“_____________________”不成立 故____________． 【答案】与不平行；；；；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；与不平行； 【分析】利用反证法和平行线的性质证明即可． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【答案】 【分析】了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 解：反面是． 因此用反证法证明若，则时，应假设． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“五边形的外角中，至多有3个钝角”，应先假设（     ） A．五边形的外角中有3个是锐角或直角 B．五边形的外角中有1个或2个钝角 C．五边形的外角中有4个或5个钝角 D．五边形的外角中没有钝角 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的否定即可得到结果． 解：反证法的第一步为假设命题的结论不成立 ∵原命题结论是“五边形的外角中，至多有3个钝角”，“至多3个”表示钝角个数不大于3，其否定为钝角个数大于3， ∵五边形共有5个外角，钝角个数大于3，即钝角为4个或5个， ∴应假设“五边形的外角中有4个或5个钝角”． 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·期末）反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：两直线平行，同位角相等． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． （已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】利用反证法的一般步骤解答即可． 解：略 解题归纳：严格按照“反设—归谬—存真”三步书写，反设精准、推理严谨、矛盾明确。 易错纠正：反设不完整、推理跳步、未明确矛盾依据，是反证法书写的主要扣分点。 五、中考链接 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．（2026·青海西宁·二模）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 解：选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 二、填空题 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 4．（2026·黑龙江大庆·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为__________．__________．（答案不唯一，写组即可） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查命题与定理，利用举反例判断假命题，根据二次根式的性质可得，原命题条件等价于，只需找出满足，但的一组即可说明命题为假命题． 解：取，，则，，满足，但，即不成立，故原命题是假命题． 三、解答题 5．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． （1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； （2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）七；（2）如图所示，即为所求， 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 解：（1）七 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.1.2 过三点的圆同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】过点作圆的规律（基础考点） 2 【知识点二】三角形的外接圆与外心（核心必考） 2 【知识点三】不同三角形外心的位置规律（高频考点） 2 【知识点四】反证法（拓展考点） 2 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】过点作圆的概念辨析 3 【题型2】外接圆与外心概念判断 4 【题型3】直角三角形外接圆简单计算 4 四、题型精析（综合提升） 5 【题型1】外心位置分类讨论 5 【题型2】外心性质角度综合计算 5 【题型3】反证法规范证明 6 五、中考链接 8 一.学习目标重难点 了解：过一点、两点、三点作圆的基本规律；反证法的基本思想与适用场景。 掌握：不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心、圆内接三角形的核心概念；不同类型三角形外心的位置特征。 综合运用：利用外心性质进行线段、角度计算；掌握反证法的证明步骤；能解决外接圆相关的几何综合问题与实际作图问题。 重点：三点确定一个圆的定理；三角形外接圆与外心的概念及性质；外心的位置规律。 难点：外心性质的综合计算与证明；反证法的逻辑推理与规范书写。 二.知识梳理与解读 【知识点一】过点作圆的规律（基础考点） 1. 经过一个点可以作无数个圆，圆心为该点外任意一点，任意长度为半径均可画圆。 2. 经过两个点可以作无数个圆，所有圆的圆心都在这两点连线的垂直平分线上。 3. 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个圆；经过同一直线上的三个点，无法作圆。 要点提示：三点定圆的核心前提：不在同一直线上，缺少该前提，定理不成立。 ⚠️ 易错警示：切勿直接表述“三点确定一个圆”，必须强调“不在同一直线上”，否则命题错误。 【知识点二】三角形的外接圆与外心（核心必考） 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2. 外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 3. 内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 4. 外心核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，均等于外接圆半径。 要点提示：任意三角形有且只有一个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。 ⚠️ 易错警示：外心是边的垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心），极易混淆。 【知识点三】不同三角形外心的位置规律（高频考点） 1. 锐角三角形：外心在三角形内部； 2. 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半； 3. 钝角三角形：外心在三角形外部。 要点提示：直角三角形外接圆计算为考试重点，可直接利用“斜边为直径”快速求半径。 ⚠️ 易错警示：只有直角三角形外心在边上，锐角、钝角三角形外心均不在三角形边上。 【知识点四】反证法（拓展考点） 1. 定义：不直接证明命题结论，而是先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 2. 三步解题步骤： ① 反设：假设原命题结论不成立； ② 归谬：根据假设推理论证，得出与已知、定理、公理矛盾的结果； ③ 存真：否定假设，肯定原命题结论正确。 要点提示：常用于证明“唯一性、不存在、至多、至少”类几何命题。 ⚠️ 易错警示：反设必须完全否定原结论，不能片面否定，否则推理无效。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】过点作圆的概念辨析 【例题1】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【变式3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 解题归纳：紧扣三点定圆定理，牢记“一点、两点无数圆，三点不共线唯一圆”的核心规律。 易错纠正：忽略“不在同一直线上”的前提，是本知识点最常见错误。 【题型2】外接圆与外心概念判断 【例题2】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段检测）下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 解题归纳：区分外心与内心：外心垂直平分线交点，等距顶点；内心角平分线交点，等距边长。 易错纠正：切勿混淆外心、内心的定义和性质，避免距离对应对象出错。 【题型3】直角三角形外接圆简单计算 【例题3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为___________． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于__________ 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________． 解题归纳：直角三角形外接圆核心结论：斜边为外接圆直径，半径=斜边÷2，可直接口算求解。 易错纠正：计算时误将直角边当作直径，必须认准斜边为外接圆直径。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】外心位置分类讨论 【例题1】（25-26九年级下·全国·课后作业）分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各个外心与它们所对应的三角形的位置关系． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 解题归纳：外心位置可快速判断三角形类型，三者位置特征一一对应、互不混淆。 易错纠正：只有直角三角形外心在边上，其余两类三角形外心均不在边上。 【题型2】外心性质角度综合计算 【例题2】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，D是边上一点． （1）尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式3】（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若的外心在其内部时，求的取值范围． 易错纠正：注意区分锐角、钝角三角形的角度对应关系，避免角度翻倍、减半出错。 【题型3】反证法规范证明 【例题3】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）完成下面的证明过程： 用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，，求证： 证明：假设____________________，则与相交， 设与相交于点， 由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线， 这与“__________”矛盾． 所以，假设“_____________________”不成立 故____________． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“五边形的外角中，至多有3个钝角”，应先假设（     ） A．五边形的外角中有3个是锐角或直角 B．五边形的外角中有1个或2个钝角 C．五边形的外角中有4个或5个钝角 D．五边形的外角中没有钝角 【变式3】（25-26七年级下·上海闵行·期末）反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：两直线平行，同位角相等． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． （已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 解题归纳：严格按照“反设—归谬—存真”三步书写，反设精准、推理严谨、矛盾明确。 易错纠正：反设不完整、推理跳步、未明确矛盾依据，是反证法书写的主要扣分点。 五、中考链接 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2026·青海西宁·二模）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 二、填空题 3．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 4．（2026·黑龙江大庆·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为__________．__________．（答案不唯一，写组即可） 三、解答题 5．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． （1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； （2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $