专题29.1 圆的有关概念（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，从圆的动态与集合定义切入，系统梳理弦、直径、弧、等圆、等弧等概念辨析，点与圆的位置关系，确定圆的条件，三角形外接圆与外心性质及反证法应用，构建从基础概念到逻辑推理的学习支架。 该资料通过“即学即练”即时巩固概念，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），作图与存在性分析题强化空间观念与推理意识（数学思维），分层练习结合中考链接，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题29.1 圆的有关概念 教学目标 1.理解圆的动态与集合定义，准确辨析弦、直径、弧、等圆、等弧等基础概念及其相互关系。 2.掌握点与圆的位置关系，能进行正向判定与逆向求参；掌握确定圆的条件及过三点的尺规作图方法，判断符合条件的圆的个数。 3.掌握三角形的外接圆与外心性质，能根据三角形类型确定外心位置并进行半径计算，了解反证法的逻辑应用。 教学重难点 1.重点 （1）圆的相关概念； （2）过三点的圆；确定圆的条件；三角形的外接圆。 2.难点 （1）理解并应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系解决问题。 知识点01 圆的形成与定义 1．圆的定义 动态定义：如图，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆。 ①固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径（用字母r表示）； ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 2.圆的集合定义及本质特征 静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。 核心性质： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）。 （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线。 历史溯源：《墨子》中记载“圆，一中同长也”（意为：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离相等）。 3.点与圆的位置关系 画圆的过程，可以得到平面内点和圆的位置有三种关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。 数量判定标准：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。 点P在圆外⟺d>r 点P在圆上⟺d=r 点P在圆内⟺d<r 4.常见基础结论 矩形四个顶点在同一个圆上（因为矩形对角线相等且互相平分，所以四个顶点到对角线交点距离相等）。 【即学即练】 1．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都____________，这个距离就是这个圆的_____________． 【答案】 相等 半径 【分析】利用圆的性质得出圆上各点到圆心的距离等于半径，进而得出答案． 【详解】解：根据圆的定义可知：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径；故答案为：相等；半径． 2．以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 【答案】 无数 无数 1 【分析】根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，以为半径可以画1个圆． 故答案为：无数，无数，1 3．已知的直径为10，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵点到圆心的距离为6，且， ∴点P在外． 故选：C 知识点02 圆的有关概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 【注意】：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径。 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 【注意】：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧。 3．同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆；同圆或等圆的半径相等。 4．等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 【注意】：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等。 【即学即练】 4．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 5．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 6．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 7．下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 8．如图，是的弦，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的定义，等边三角形的性质和判定， 根据圆的定义可得，再说明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 知识点03 过三点的圆 1.确定一个圆的条件 核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ①过一个点：能作无数个圆（圆心不定）。 ②过两个点：能作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）。 ③过不在同一条直线上的三个点：能作一个且只能作一个圆。 作法：分别作两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离即为半径。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个 图形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【即学即练】 9．下列命题不正确的是（ ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 10．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 11．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ 【答案】(1)这样的圆能作2个 (2)这样的圆能作1个 (3)这样的圆能作0个 【分析】（1）要确定作半径为4且经过两点的圆的个数，需先作的垂直平分线，再以为圆心、4为半径作弧，看与垂直平分线的交点个数，交点个数即为圆的个数； （2）作半径为3且经过两点的圆，先作的垂直平分线，找到中点，判断以为圆心、3为半径的圆是否经过； （3）判断作半径为2且经过两点的圆的个数，需比较半径与一半的长度，看是否存在这样的圆心． 【详解】（1）解：这样的圆能作2个，如图①所示． 作的垂直平分线，再以点为圆心，4为半径作弧，交于点，，然后分别以点，为圆心，4为半径作圆，则和为所求． （2）解：这样的圆能作1个，如图②所示． 作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，3为半径作圆，则为所求． （3）解：，其一半为3，半径2小于3，不存在到距离为2的点，所以这样的圆能作0个． 知识点04 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的内部（如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的外部（如图3）。 【即学即练】 12．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 13．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 14．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 15．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 知识点05 反证法 1.反证法 步骤： ①先提出与结论相反的假设； ②根据假设进行推导，得出与已知定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结论； ③由矛盾断定假设不成立，从而证明原命题成立。 2.经典应用 证明：经过同一条直线上的三个点不能作圆（假设能作，则圆心必须在两条垂直平分线上，但这两条线平行不相交，矛盾）。 证明：两直线平行，同位角相等（假设同位角不相等，过直线外一点能作两条平行线，与公理矛盾）。 证明：同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交；一个三角形中不能有两个角是直角。 【即学即练】 16．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】 假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，说明该假设不成立，因此原结论“点在圆上”必然成立． 【详解】解：假设 “点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾， 说明该假设不成立，因此原结论“点在圆上”必然成立． 故选：B． 17．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：． 以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是___________． 【答案】③①②⑤④ 【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案． 【详解】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 18．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【答案】 解：如图，已知：在中，．求证：． 证明：假设不大于，即或． 当时，，这与已知条件相矛盾； 当时，如图，在边上截取， 则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 即， 这与已知条件相矛盾； 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ∴， 即在三角形中，大角对大边． 【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立． 本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 【详解】略 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【典例2】下列说法中，正确的是（ ）． A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等 C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦的定义、弧弦圆心角的关系是解题的关键． 根据弦的定义、弧弦圆心角的关系分别判断即可． 【详解】解：A．直径是经过圆心的弦，错误． B．相等的弦所对的弧相等必须在同圆或等圆中成立，否则不一定成立，错误． C．在同圆或等圆中，优弧大于半圆，劣弧小于半圆，优弧一定比劣弧长，正确． D．同一条弦所对的两条弧，一条是优弧，一条是劣弧，除非弦为直径，否则不相等，错误． 故选C． （1）考查方向：考查圆的定义、弦（直径）、弧（优弧/劣弧）、等圆、等弧等基础概念的易混淆点辨析，常以判断正误题形式出现。 （2）核心方法：紧扣定义解题。特别注意：“直径是最长的弦”、“等弧不仅长度相等，必须能够完全重合且仅在“同圆或等圆”中成立”。 【变式1】下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，为半径，是弦．若，，则的长为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质与等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据圆的半径相等可得根据，得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 【中考链接1】如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴ ． 【中考链接2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】解∶如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 题型02 弦与直径的相关性质 【典例1】如图，在中，弦的条数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦．根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦，共有4条弦． 故选：C． 【典例2】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解： 的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． （1）考查方向：考查圆中弦的条数计数，以及利用直径是圆中最长的弦进行长度范围判断。 （2）核心方法：根据弦的定义直接查找端点；当遇到最长弦问题时，考虑将该弦视为直径代入求解。 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式2】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点， ， 当AC取得最大值时，MN就取得最大值， 当AC时直径时，最大，如图，   ，， ， ，故答案为：． 【变式3】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 【中考链接】如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 题型03 圆的周长与面积计算 【典例1】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 【典例2】由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形外接圆与内切圆问题，圆的面积公式，得到半径是解题的关键． 根据题意，正方形外接圆半径，内切圆半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴． ∴． ∴此正方形外接圆的面积为， 此正方形内切圆的面积为． ∴此圆环的面积． 故答案为：． （1）考查方向：考查圆的周长、面积公式的直接应用，以及圆环面积、组合图形中阴影面积的割补计算。 （2）核心方法：熟记公式C=2πr和S=πr2；遇到组合图形时，常采用“整体面积减去局部面积”或“割补拼接法”进行计算。 【变式1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键． 根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等． 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴． 故选：A． 【变式2】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 【变式3】如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，圆的面积的计算，理解数量关系是关键． 根据圆的面积的计算方法列式求解即可． 【详解】解：， 故选：C ． 【变式4】定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0 (2) (3)存在，， 或， 【分析】（1）根据的“关联值”的定义计算当时的的“关联值”即可； （2）根据的“关联值”的定义列方程求解即可； （3）根据的“关联值”的定义得，即，将左边因式分解后为，因为、都是正整数，且，所以将分解质因数后得方程进行计算即可． 【详解】（1）解：若的半径为2， 则的“关联值”为， 故答案为：0； （2）解：设圆的半径为，由题意得， 解得或舍去， ∴的半径为； （3）解：存在，理由： 根据的“关联值”的定义得， ， 即， ，而、都是正整数，且， 或， 解得或． 【点睛】本题考查定义新运算，圆面积和周长，因式分解，解二元一次方程组，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 【中考链接】在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 题型04 点与圆的位置关系 【典例1】的直径为，点A到圆心O的距离，则点A与圆O的位置关系为（ ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点和圆的位置关系，先根据圆的直径求出半径，再比较点A到圆心的距离与半径的大小，依据点与圆的位置关系判定规则得出结果． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵，， ∴点A在圆外， 故选：C． 【典例2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． （1）考查方向：考查利用点到圆心的距离d 与半径r 的数量关系，判定点在圆外（d>r）、圆上（ d=r）还是圆内（d<r），及其逆向求参。 （2）核心方法：根据坐标或勾股定理先计算出d，再与r对比；已知位置反求半径时，利用不等式或方程建立d 与r的关系求解。 【变式1】如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（ ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 【变式2】已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 【变式3】如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为(   ) ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的最值问题、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解本题的关键是判断出点的位置． 先过点作，延长交于E，判断此时面积的最大值，再根据平面直角坐标系求出，，并判断为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，然后判断为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，进一步求出，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作，延长交于，此时的面积为最大值(是定值，只要圆上一点到直线的距离最大，而过圆心时，和圆相交于两个点，一个是最大的，一个是最小的)， ∵、两点的坐标分别为，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵的半径为1， ∴，． ∵、两点的坐标分别为，， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴， ， ， ， ∴． ∴．    故选：A． 【变式4】已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 【中考链接】如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴，∴， ∵，∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形，， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 题型05 圆的作图与存在性分析 【典例1】下列说法中，正确的是（ ） A．长度相等的弧是等弧 B．任意三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、弧的长短比较以及圆心角与弦的关系． 根据等弧，确定圆的条件，优弧与劣弧概念，弧弦圆心角的关系，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A、长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧需在同圆或等圆中能重合，长度相等但半径不同则不是等弧， ∴ A错误； B、任意三点不一定确定一个圆，当三点共线时无法确定圆， ∴ B错误； C、优弧不一定比劣弧长，因为不同圆中优弧可能比劣弧短（例如小圆的优弧可能小于大圆的劣弧）， ∴ C错误； D、在等圆中，半径相等，相等的圆心角所对的弧相等，因此所对的弦也相等， ∴ D正确． 故选：D． 【典例2】如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握圆心在弦的垂直平分线上是解题的关键． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点M，从而得到点M的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出，即可求解； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，利用网格特点，作和的垂直平分线，交于点M， 圆心的坐标为． （2），， ， 圆的半径长为． （3），， ， ， 点在外． 【典例3】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． （1）考查方向：考查过不在同一直线上的三点确定一个圆的尺规作图，以及给定条件（如半径、经过的某两点）判断圆存在与否及圆的具体个数。 （2）核心方法：作两条不平行线段的垂直平分线找交点（圆心）；利用“圆心在弦的垂直平分线上，半径必须大于弦长的一半”来判定是否存在符合条件的圆。 【变式1】已知下列函数： ； ； ； ，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查旋转变换的作图与圆的基本作图． （1）利用旋转的性质(对应点到旋转中心的距离相等、旋转角为)，确定点、绕点逆时针旋转后的对应点、，进而画出线段； （2）先确定的中点作为圆心，以长度的一半为半径画圆，可借助平行四边形的对角线互相平分性质． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 【变式4】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式5】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式6】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【中考链接】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 题型06 三角形的外接圆 【典例1】下列关于外心的说法正确的是（ ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 【典例2】下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形内 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三边距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆和三角形的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心、等弧的定义和三角形的内心性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三点确定一个圆的条件是三点不共线，故该选项不符合题意； B、三角形的外心是外接圆的圆心，锐角三角形在内部，直角三角形在斜边上，钝角三角形在外部，∴不一定在三角形内，故该选项不符合题意； C、完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不是等弧，故该选项不符合题意； D、三角形的内心是角平分线交点，也是内切圆的圆心，∴三角形的内心到三边距离相等，故该选项符合题意． 故选：D 【典例3】如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． （1）考查方向：考查三角形外心的定义（三边垂直平分线的交点）、外心在三角形内/外/边上的位置特征，以及外接圆半径的计算。 （2）核心方法：明确外心到三角形三个顶点距离相等（即半径）；当遇到直角三角形时，外心在斜边中点且外接圆半径等于斜边的一半。 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【变式2】如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键； 画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可． 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求， ∵等腰中，， ∴ ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵I是的重心， ∴是三角形三条中线的交点， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式4】如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 【中考链接】抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ，． （3）略． 题型07 反证法 【典例1】牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____． 【答案】两个锐角都大于 【分析】本题考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即否定“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，从而假设两个锐角都大于． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，第一步应假设原命题的结论不成立， 即假设两个锐角都大于． 故答案为：两个锐角都大于． （1）考查方向：考查反证法“先反设，再推导出矛盾，最后得结论”的逻辑步骤，常用于证明三点共圆、平行性、角度与边长大小关系等命题。 （2）核心方法：假设原结论不成立（即反面成立）；以此为出发点进行严密推理，得出与已知定理（如平行公理）、已知条件或基本事实相矛盾的结论，从而证明假设错误，原命题成立。 【变式1】用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（ ） A．与平行 B．与相交 C． D．与不平行，与不平行 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题的关键是区分命题的条件与结论．由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发， 第一步应假设与不平行，则与相交． 故选：B． 【变式2】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 【变式3】如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折㢃为，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，，，，然后逐项分析即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，，，， A．若，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、是的两个内角， 又∵三角形三个内角和为， ∴不可能等于， ∴，不可能成立，故A不正确； B．∵，， ∴，故B正确； C．若， ∵， ∴，显然不一定成立，故不正确； D．若， ∵， ∴，显然不一定成立，故D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 【变式4】“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 【答案】(1)存在， (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、反证法、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用新定义进行计算是关键． （1）依据题意，由求解后再结合 “平衡集合”的定义可以判断得解； （2）依据题意，，是平衡集合，且、为不同正数，则，可得，故，又设，，则，从而若且，则且，此时．等号成立当且仅当，即，这与不同矛盾，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：存在， 由题意得： 即， 解得或． 当时，集合为不满足集合元素的互异性，舍去． 当时，， 此时集合为，满足“平衡集合”的定义． 综上，存在实数，使得集合为“平衡集合”． （2）证明：，是平衡集合，且、为不同正数， ． ． ． ． 又设，， ． 又若且， 且，此时．等号成立当且仅当，即，这与是两个不同的正数矛盾． 、至少有一个大于2． 【中考链接】如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． A组·基础过关 1．下列说法中，正确的是（ ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 2．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（ ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 4．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 5．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． B组·能力提升 6．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 7．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 8．如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（ ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义求出，再根据直径所对的圆周角是直角即可判定点R在上 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点R， ∴，， ∴， ∴， ∴以为直径作时，的半径， ∴点R在上． 9．如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求 (2) 证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 10．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． C组·拓展延伸 11．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 12．我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； (2)如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； (3)如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 【答案】(1)点B，点E (2)如图所示，直线的关系式为； 如图所示，直线的关系式为； (3) 【分析】（1）根据垂等点的定义解答； （2）分两种情况：当垂等点N在直线右侧时，作于点F，再根据“角角边”证明，可得，然后结合点得出点，接下来根据待定系数法求出直线关系式即可；当垂等点N在直线左侧时，仿照上述解答； （3）先确定当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值，延长交于点C，连接，再求出直线的关系式，当最小时，由进而求出点N的纵坐标为，然后代入关系式得出点N横坐标为，即可求出最小值，同理可求出的最大值，则此题可解． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴，于点G，过点E作轴，于点H， ∴ ∴， ∴ ∴为点P的垂等点； （2）解：①如图，当垂等点N在直线右侧时，作于点F， 依题意，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点N在第一象限， ∴点， 则过点的直线关系式为，得 解得， ∴直线的关系式为； ②如图所示，当垂等点N在直线左侧时，依题意，得点， 过点M，N的直线关系式为； （3）如图，当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值， 延长交于点C，连接， ∵点， ∴直线的关系式为． 当最小时，由 ∴， ∴点N的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴, 同理可求出的最大值， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.1 圆的有关概念 教学目标 1.理解圆的动态与集合定义，准确辨析弦、直径、弧、等圆、等弧等基础概念及其相互关系。 2.掌握点与圆的位置关系，能进行正向判定与逆向求参；掌握确定圆的条件及过三点的尺规作图方法，判断符合条件的圆的个数。 3.掌握三角形的外接圆与外心性质，能根据三角形类型确定外心位置并进行半径计算，了解反证法的逻辑应用。 教学重难点 1.重点 （1）圆的相关概念； （2）过三点的圆；确定圆的条件；三角形的外接圆。 2.难点 （1）理解并应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系解决问题。 知识点01 圆的形成与定义 1．圆的定义 动态定义：如图，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆。 ①固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做 ； ②以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“圆O”。 2.圆的集合定义及本质特征 静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内 的集合。 核心性质： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）。 （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 注意： ①圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线。 历史溯源：《墨子》中记载“圆，一中同长也”（意为：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离相等）。 3.点与圆的位置关系 画圆的过程，可以得到平面内点和圆的位置有三种关系： 。 数量判定标准：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。 点P在圆外⟺ 点P在圆上⟺ 点P在圆内⟺ 4.常见基础结论 矩形四个顶点在同一个圆上（因为矩形对角线相等且互相平分，所以四个顶点到对角线交点距离相等）。 【即学即练】 1．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都____________，这个距离就是这个圆的_____________． 2．以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 3．已知的直径为10，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 知识点02 圆的有关概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 【注意】：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径。 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 【注意】：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧。 3．同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 圆心不同，半径相等的两个圆叫做 ；同圆或等圆的半径相等。 4．等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做 。 【注意】：①等弧成立的前提条件是在 中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等。 【即学即练】 4．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 5．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 7．下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，是的弦，且，则（ ） A． B． C． D． 知识点03 过三点的圆 1.确定一个圆的条件 核心定理：不在同一条直线上的 确定一个圆。 ①过一个点：能作无数个圆（圆心不定）。 ②过两个点：能作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）。 ③过不在同一条直线上的三个点：能作一个且只能作一个圆。 作法：分别作两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离即为半径。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出 个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的 上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作 个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的 ，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆 个 图形 结论 不在同一条直线上的 确定一个圆 【即学即练】 9．下列命题不正确的是（ ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 10．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 11．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ 知识点04 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的 ； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在 （即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图3）。 【即学即练】 12．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ） A． B． C． D． 13．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 14．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A． B． C． D． 15．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 知识点05 反证法 1.反证法 步骤： ①先提出与结论相反的假设； ②根据假设进行推导，得出与已知定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结论； ③由矛盾断定假设不成立，从而证明原命题成立。 2.经典应用 证明：经过同一条直线上的三个点不能作圆（假设能作，则圆心必须在两条垂直平分线上，但这两条线平行不相交，矛盾）。 证明：两直线平行，同位角相等（假设同位角不相等，过直线外一点能作两条平行线，与公理矛盾）。 证明：同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交；一个三角形中不能有两个角是直角。 【即学即练】 16．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不确定 17．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：． 以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是___________． 18．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】下列说法中，正确的是（ ）． A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等 C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧 （1）考查方向：考查圆的定义、弦（直径）、弧（优弧/劣弧）、等圆、等弧等基础概念的易混淆点辨析，常以判断正误题形式出现。 （2）核心方法：紧扣定义解题。特别注意：“直径是最长的弦”、“等弧不仅长度相等，必须能够完全重合且仅在“同圆或等圆”中成立”。 【变式1】下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在中，，为半径，是弦．若，，则的长为（ ） A． B．2 C． D．4 【中考链接1】如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（ ） A． B． C． D． 题型02 弦与直径的相关性质 【典例1】如图，在中，弦的条数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【典例2】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． （1）考查方向：考查圆中弦的条数计数，以及利用直径是圆中最长的弦进行长度范围判断。 （2）核心方法：根据弦的定义直接查找端点；当遇到最长弦问题时，考虑将该弦视为直径代入求解。 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____． 【变式3】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【中考链接】如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ） A． B． C． D． 题型03 圆的周长与面积计算 【典例1】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【典例2】由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____． （1）考查方向：考查圆的周长、面积公式的直接应用，以及圆环面积、组合图形中阴影面积的割补计算。 （2）核心方法：熟记公式C=2πr和S=πr2；遇到组合图形时，常采用“整体面积减去局部面积”或“割补拼接法”进行计算。 【变式1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（ ） A． B． C．1 D．2 【变式3】如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式4】定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【中考链接】在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型04 点与圆的位置关系 【典例1】的直径为，点A到圆心O的距离，则点A与圆O的位置关系为（ ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 【典例2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查利用点到圆心的距离d 与半径r 的数量关系，判定点在圆外（d>r）、圆上（ d=r）还是圆内（d<r），及其逆向求参。 （2）核心方法：根据坐标或勾股定理先计算出d，再与r对比；已知位置反求半径时，利用不等式或方程建立d 与r的关系求解。 【变式1】如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（ ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【变式2】已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【变式3】如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为( ) ． A． B． C． D． 【变式4】已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【中考链接】如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A． B． C． D． 题型05 圆的作图与存在性分析 【典例1】下列说法中，正确的是（ ） A．长度相等的弧是等弧 B．任意三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【典例2】如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【典例3】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 （1）考查方向：考查过不在同一直线上的三点确定一个圆的尺规作图，以及给定条件（如半径、经过的某两点）判断圆存在与否及圆的具体个数。 （2）核心方法：作两条不平行线段的垂直平分线找交点（圆心）；利用“圆心在弦的垂直平分线上，半径必须大于弦长的一半”来判定是否存在符合条件的圆。 【变式1】已知下列函数： ； ； ； ，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式5】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )． 题型06 三角形的外接圆 【典例1】下列关于外心的说法正确的是（ ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【典例2】下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形内 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三边距离相等 【典例3】如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． （1）考查方向：考查三角形外心的定义（三边垂直平分线的交点）、外心在三角形内/外/边上的位置特征，以及外接圆半径的计算。 （2）核心方法：明确外心到三角形三个顶点距离相等（即半径）；当遇到直角三角形时，外心在斜边中点且外接圆半径等于斜边的一半。 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【变式3】已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式4】如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【中考链接】抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 题型07 反证法 【典例1】牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____． （1）考查方向：考查反证法“先反设，再推导出矛盾，最后得结论”的逻辑步骤，常用于证明三点共圆、平行性、角度与边长大小关系等命题。 （2）核心方法：假设原结论不成立（即反面成立）；以此为出发点进行严密推理，得出与已知定理（如平行公理）、已知条件或基本事实相矛盾的结论，从而证明假设错误，原命题成立。 【变式1】用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（ ） A．与平行 B．与相交 C． D．与不平行，与不平行 【变式2】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【变式3】如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折㢃为，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 【中考链接】如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． A组·基础过关 1．下列说法中，正确的是（ ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（ ）． A．6 B．7 C．8 D． 3．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 B组·能力提升 6．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 8．如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（ ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 9．如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 10．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． C组·拓展延伸 11．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 12．我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； (2)如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； (3)如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $