广东东莞市第十高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测数学试题

东莞十中2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测 高二数学试题（逐题详解） (满分150分　时间：120分钟) 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．直线的斜率 1．若直线的一个方向向量是，则的斜率为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】 设直线的方向向量为，则当时，直线的斜率。 本题中，，故 所以选 A。 其余选项错因分析： · B： 是把方向向量横纵坐标弄反（）得到的结果； · C、D：负号错误。斜率由方向向量的纵、横坐标之比决定，本题方向向量第一、二分量均为正，斜率应为正。 2．向量的垂直与参数 2．已知向量，，且，则（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】 先求： 两个向量垂直的充要条件是数量积为 ，即 代入坐标计算： 即 解得 所以选 A。 验算： 时，，，垂直成立。B、C、D 代入均不满足 ，可排除。 3．圆的一般方程 3．若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（　） A．；　　B．；　　C．；　　D．； 【答案】A 【详解】 方法一（配方法）：对一般方程配方： 所以圆心为，半径。 方法二（公式法）：对，圆心为，半径。 这里，，，故 所以选 A。 错因分析：B、D 的圆心符号错误；C 的半径忘记开平方。 4．光线反射与斜率 4．一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】 由光的反射定律：反射光线的反向延长线必过入射点关于镜面（轴）的对称点。 点关于轴的对称点为 入射光线即直线，其斜率为 所以选 D。 验算：入射光线：，令得，即入射光线与轴交于；反射光线由指向，斜率为，恰为入射光线斜率的相反数，符合反射定律。 错因分析：A 把对称点取错；B 只取正号却用错坐标；C 误把反射光线斜率当作入射光线斜率。 5．直线平行的充要条件 5．已知直线，，则“”是的（　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 两条直线与平行的充要条件是 代入，，，： 再检验重合情形： · 当时，，即；。两直线平行且不重合，故成立。 · 当时，，即；。两直线完全重合，不属于。 所以，即“”是的充要条件。选 C。 错因分析：A 只看到能推出平行，忽略了不满足平行、即也是必要条件；B 方向弄反；D 完全错误。 6．空间向量的线性表示 6．如图，在三棱柱中，点在线段上，且．若，，，则可表示为（　） 第6题图 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】 由向量加法的三角形法则，沿“折线”分解： 在三棱柱中，侧棱平行且相等，故 因为，所以，即 又，于是 代入得 所以选 B。 错因分析：A 把、的系数写反（误按处理）；C 的系数应为而非；D 各项系数均错。 7．空间向量的基底判定 7．已知，，，若，，三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】 三个向量不能构成空间的一个基底，等价于它们共面，即线性相关，等价于以它们为行（列）向量的行列式为 ： 按第一行展开： 即 解得 所以选 D。 验算： 时，可验证（即），三向量共面。A、B、C 代入行列式均不为 。 8．动点线段中点问题 8．设为直线上的动点，为直线上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】 设，，则 两式相加： 线段的中点的坐标为 故 即点恒在直线 上（它是与、平行且到两者距离相等的中位直线）。 于是的最小值就是点到直线的距离： 所以选 C。 错因分析：A、B、D 分别把常数取成、的常数或距离公式中分子分母算错而产生的干扰值。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9．空间向量的概念与运算 9．关于空间向量，下列说法正确的是（　） A．若向量和向量都是单位向量，则 B．若向量与向量的夹角为钝角，则 C．若，，，四点共面，对空间中任意一点，有，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【详解】 逐项判断： A 项（错误）：单位向量只要求模长等于 ，方向可以不同。例如与都是单位向量但不相等。故A错误。 B 项（正确）：设夹角为，则。当为钝角时，故。B正确。 C 项（正确）：若，，，四点共面，则对空间中任意一点，可由，，线性表示，且系数之和等于： C正确。 D 项（正确）：在方向上的投影向量为 先算，，故投影向量为 D正确。 综上，选 BCD。 10．直线的位置关系 10．已知直线，，则下列说法正确的是（　） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 【答案】AD 【详解】 逐项判断： A 项（正确）：直线的一个方向向量可取。对，取，A正确。 B 项（错误）：两直线垂直的充要条件是。当时，则 故与不垂直。B错误。 C 项（错误）：等价于： 此时，即。两平行直线与的距离为 而选项给出，C错误。 D 项（正确）：可化为 对任意，当，时恒成立，故恒过定点。D正确。 综上，选 AD。 11．四棱锥中的动点问题 11．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（　） 第11题图 A．四棱锥的外接球表面积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【详解】 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴，则 动点在线段上，设，则 逐项判断： A 项（正确）：四棱锥的顶点在同一球面上。底面正方形的外接圆圆心为，设球心，由： 解得，所以球半径，外接球表面积 A正确。 B 项（正确）：，。由： ，故存在点（中点）使。B正确。 C 项（错误）：由对称性，且 这是关于的二次函数，最小值在处取得： 所以 而选项给出，C错误。 D 项（正确）：直线即轴，点到的距离为 其最小值在处取得： D正确。 综上，选 ABD。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．三线共点求参数 12．已知三条直线，，相交于一点，则______. 【答案】 【详解】 先求与的交点： 由第二式得，代入第一式： 交点为。三条直线交于一点，说明过点，代入： 所以。 13．圆的对称性求参数 13．若圆上存在不同两点、关于直线对称，则实数______. 【答案】 【详解】 圆上两点、关于某直线对称，说明该直线是弦的垂直平分线，必过圆心。 圆的圆心为，代入直线： 所以。 （检验：时直线为，圆心满足，且直线与圆相交，圆上确有关于它对称的两点。） 14．两动直线交点的最值 14．直线与直线交于点，是实数，则的最大值为______. 【答案】 【详解】 由得，代入： 再代回得 即交点 于是 所以 设，，则分子为 故 因为，所以，当时取等号，故最大值为 （检验：时，，交点，，与结论一致。） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．圆的标准方程 15．（本小题13分）根据下列条件，求圆的标准方程. (1)圆心在，且过点； (2)圆心在直线上，且过和点. 【答案】(1) ；(2) 【详解】 (1) 圆心，圆过点，则半径 故圆的标准方程为 (2) 设圆心为。 因为圆心在直线上，所以 又圆过和，故： 展开： 整理得 联立①②： 圆心为，半径 故圆的标准方程为 验算：：✓；：✓；圆心满足✓。 16．直线方程与三角形面积 16．（本小题15分）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【详解】 (1) 的中点： 边上的中线即直线，其斜率为 由点斜式得 即 (2) 直线的斜率 过点且与平行的直线为 整理得 (3) 方法一（向量法）：，，则 方法二（底高法）：；所在直线（过，斜率）为，点到的距离 所以 综上，中线方程，平行直线，面积。 17．面面垂直与线面角 17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形．平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 第17题图 【答案】(1) 证明见详解；(2) 【详解】 (1) 证明：因为平面，平面，所以。 又底面为矩形，故。 垂直于平面内的两条相交直线与，所以 而平面，由面面垂直的判定定理，得 (2) 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴，则 因为为的中点，所以。 直线的方向向量 求平面的法向量。取平面内两向量 则 设直线与平面所成的角为，则 计算： 故 所以直线与平面所成角的正弦值为。 18．长方体中的线面关系 18．（本小题17分）在长方体中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 第18题图 【答案】(1) 证明见详解；(2) ；(3) 【详解】 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴，则 由知，点在上且 由知，点在上且 (1) 证明：。 平面内两向量： 平面的一个法向量 可见与平行，即垂直于平面的法向量所在的直线方向，亦即平面。证毕。 (2) 平面内两向量： 平面的一个法向量 可取；平面的法向量取，可取。 两平面夹角的余弦值等于两法向量夹角余弦的绝对值： 所以平面与平面的夹角的余弦值为。 (3) 三棱锥的体积 由(2)，，且，故 （也可用“底面面积点到面距离”验证：，面方程，，。） 所以三棱锥的体积为。 19．菱形与空间垂直 19．（本小题17分）如图，已知四边形是菱形，，是平面外一点，且，（）． (1)当时，求证：，，，四点共面； (2)若平面平面，平面平面， (i)求证：直线平面； (ii)求的值，使直线与平面所成角最大. 第19题图 【答案】(1)(2)(i) 证明见详解；(2)(ii) 【详解】 建系：设菱形的边长为（）。取平面为平面，设 则由（平行四边形）得 设（）。由，即，得 (1) 当时， 在菱形中，（因为），所以 即，向量可由与线性表示，故点在由点、、确定的平面内，所以，，，四点共面。证毕。 (2)(i) 平面的法向量取。 平面的法向量 其中，。计算的分量： 因为平面平面，所以，即，得 平面的法向量 其中，其分量为 因为平面平面，所以，得 联立①②： 于是，即在过且垂直于平面的直线上，所以 证毕。 (2)(ii) 由及(i)知在正上方距离为处： 由得 求直线与平面所成角。，。 平面的法向量 先取，，令，则 计算各分量： 即 于是 线面角的正弦 要使最大（上随单调递增），只需最小。二次函数的对称轴为，故当 时，取最大值 此时，符合要求（）。 所以当时，直线与平面所成角最大。 学科网（北京）股份有限公司 $东莞十中2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测 高二数学试题 (满分150分时间：120分钟) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若直线的一个方向向量是1，V2,则1的斜率为() A.2 B.2 C.-V2 2 D.-2 2.已知向量a=3,0,2,b=x,2,-2,且a+b1a,则x=() A.-3 5 C.3 D.3 3.若圆的一般方程为x2+y2-2x+4y-6=0,则圆的圆心和半径分别为() A.1,-2:r=V11 B.2,-1:r=V11 C.1,-2:r=11 D.2,-1r=11 4.一束光线从点A(3,1出发，经x轴反射后经过点B-1,2,则入射光线所在直线斜率为() 5.己知直线l1:ax+9y+3=0,12:x+ay-1=0,则“a=3”是l1l2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，在三棱柱ABC-ABC1中，点M在线段B,C上，且BM:MC1=1:2.若AB=a,AC=b, AA1=C,则AM可表示为() BIM A1 B 3 +ib+c B.3 3 c+5+ 3 n号6+ 7.已知a=2,3,-3,b=-4,2,0,c=10,3,入，若立，b,c三个向量不能构成空间的一个基底，则实 数入等于() A.6 B.5 C.-5 D.-6 8.设P为直线l1:3x+y-1=0上的动点，Q为直线l2:3x+y-5=0上的动点，M是线段PQ的中点，点 A1,10,则MA的最小值为() 4.510 6 B.40 5 c.10 6V/10 5 二、多选题 (本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.) 9.关于空间向量，下列说法正确的是() A.若向量和向量b都是单位向量，则a=b B.若向量ā与向量b的夹角为钝角，则a·b<0 C.若A,B,C,D四点共面，对空间中任意-点0，有D-号01+成+A0元，则入君 1866 D.若à=2,1,1,6=3，-1,1，则向量在向量6方向上的投影向量的坐标为1，立1立 10.已知直线l1:4x+3y-4=0,l2:mx+y-1-2m=0m∈R,则下列说法正确的是() A.直线1的一个方向向量是-3,4 B.若m=1,则l1112 C,圆直线，之间的距将为号 D.直线l2过定点2,1 11.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1,动点M在线段PC上，则( M A A.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6π B.存在点M,使得AC⊥BM 30 C.MB+MD的最小值为4 25 D.点M到直线AB距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知三条直线l1:3x-y+1=0,l2:x+y-5=0,l3:x-ay-3=0相交于一点，则a= 13.若圆C:x-1+|y+2}=9上存在不同两点P、Q关于直线x+ay-3=0对称，则实数a=一 14.直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Qa,b,m是实数，则a+1P+b-1}的最大值为 四、解答题 (本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)根据下列条件，求圆的标准方程. 1)圆心在A-2,-1,且过点B-2,2: (2)圆心在直线1：3x+y-9=0上，且过E2,1和点F0,3. 16.(本小题15分)已知△ABC的三个顶点A-2,0,B-1,4,C3,2 (I)求BC边上的中线所在的直线方程： (2)求过点A且与直线BC平行的直线的方程： (3)求△ABC的面积. 17.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.PA⊥平面ABCD,PA=AB=2, BC=3,E为AD的中点 (I)证明：平面PAD1平面PAB: (2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值. D AA--- B 18.(本小题17分)在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=2,AA1=3,AD=4,A1E=3ED1, 2C F=FC (I)求证：BD⊥平面CEF; (2)求平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值： (3)求三棱锥A-CEF的体积. D C, E A 19.(本小题17分)如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=号，P是平面ABCD外一点，且PD=AD, DP=λ·CE(λ>0). (1)当入=1时，求证：A,B,E,P四点共面： (2)若平面PBD⊥平面ABCD,平面PECD⊥平面ABCD, ()求证：直线PD⊥平面ABCD: ()求A的值，使直线BD与平面PBE所成角最大， P E D B