精品解析：广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题

东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】由直线，可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故C项正确. 故选：C. 2. 在空间四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知，. 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，点， 若点与点关于平面对称，可得， 则向量，所以. 故选：A. 4. 已知三条直线，，交于一点，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即两直线交点坐标为， 代入得：，解得. 5. 已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 6. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 7. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误. 【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确； 由数量积的坐标运算得，C错误； 由，则，D正确． 故选：ABD 10. 已知中，点、和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 边所在直线的方程为 C. 是钝角三角形 D. 的面积为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点间距离公式验证线段长度，由斜率和点斜式求出直线方程，借助向量数量积判断角的类型，再通过向量夹角公式求出正弦值，代入面积公式逐项判断各选项正误． 【详解】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即，B错误； 对于C，因为，，，所以，， 因为，所以是钝角，C正确； 对于D，，， 由，得， 因为，所以， 所以，D正确． 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量，，满足，，则有； C. 若、、是不共线的三个点，存在点，使，则在平面内； D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间基底定义、向量共线共面判定、四点共面向量充要条件，结合反证法与举反例，逐一判断四个命题真假． 【详解】对于A，若，不共线，则在空间中取与，都垂直的非零向量， 则可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，所以，A正确； 对于B，当，，时， 显然，，但是，B错误； 对于C，由，得， 化简得，即四点共面，C正确； 对于D，假设共面，即共面， 则由平面向量基本定理可知共面， 与是空间的一个基底矛盾，假设不成立， 所以也是空间的一个基底，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的截距式方程列式求解，再化为一般式即可. 【详解】设直线方程为：， 所以， 因为，所以， 解得， 所以，即. 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系结合法向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】当时，或， ，解得， 所以若直线与平面相交，则实数的取值范围为 14. 在正方体中，过对角线作正方体的截面，点在上，点在上，四边形面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得截面是平行四边形，从而，建立空间直角坐标系，求得到直线的距离的最大值，可求四边形面积的最大值. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 又截面平面，又截面平面， 所以，同理可得，所以截面是平行四边形， 所以. 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则， 则，， 则到直线的距离为 ， 当或时，， 所以. 所以四边形面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，且，求实数x，y的值． 【答案】（1）, （2）或 【解析】 【小问1详解】 由∥可得，存在实数使， 即，解得,,; 【小问2详解】 若，则①， 由，则②， 两式联立解得或. 16. 已知点，，直线经过点． （1）若与直线平行，求的斜截式方程； （2）若与直线垂直，求的一般式方程； （3）若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题， 因为与直线平行，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 因为与直线垂直，所以， 所以的方程为，即． 【小问3详解】 依题意，， 若与线段延长线有公共点，如图，则的斜率的取值范围是. 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， （1）用向量，，表示与； （2）求证：平面； （3）求异面直线与夹角的余弦． 【答案】（1）， （2）由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，， 所以，同理可证， 因为，因此，平面 （3） 【解析】 【分析】（1）使用空间向量的线性运算求解； （2）使用向量证明线线垂直，通过线面垂直判定定理求解； （3）使用空间向量的模长公式和夹角公式求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得 所以，异面直线与夹角的余弦为 18. 直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为． （1）求点到平面的距离； （2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离；（2）设点，求平面PBD的法向量，利用空间向量处理二面角的问题. 【小问1详解】 由题意可知：四边形为矩形，则M为中点， 以B为坐标原点，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，即， ∴点M到平面的距离． 【小问2详解】 存在， 设点，平面PBD的法向量， ∵， ，则， 令，则，，即， ∴，解得：或， 当时，P与重合，此时二面角为锐二面角，不合题意； 当时，二面角为钝二面角，符合题意； 综上所述：存在点，使得二面角的余弦值为，此时． 19. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点或或 【解析】 【分析】（1）根据两条直线垂直的斜率关系、直线方程以及线段垂直平分线的求法，先利用互相垂直的两条直线斜率之积等于 ，求出直线 的斜率；再结合已知定点，用点斜式写出直线 方程，求出直线与坐标轴交点 ；最后算出线段 中点坐标，由垂直关系得到垂直平分线的斜率，再次使用点斜式整理，得到垂直平分线方程； （2）根据等腰直角三角形直角顶点的位置分类讨论，先由 平行于轴，设 ，得到 点坐标，再分直角顶点在 三种情况，结合等腰直角三角形边相等或 角的几何特征，建立等量关系，求出参数，并验证在线段上，最后汇总所有符合条件的点坐标即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 令，得，即；令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为， 即； 【小问2详解】 假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上， 则点必与原点重合，设， 因为，所以， ∴，解得，此时满足题意； 如图2，当时，由，，知四边形为正方形， 设，则，， ∴，解得，此时满足题意； 如图3，当时，由，， 得，即， 设，则，， 显然直线斜率为，则直线斜率必为1， 即，解得，此时满足题意． 综上，轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条直线，，交于一点，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. D. 10. 已知中，点、和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 边所在直线的方程为 C. 是钝角三角形 D. 的面积为3 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量，，满足，，则有； C. 若、、是不共线的三个点，存在点，使，则在平面内； D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 14. 在正方体中，过对角线作正方体的截面，点在上，点在上，四边形面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，且，求实数x，y的值． 16. 已知点，，直线经过点． （1）若与直线平行，求的斜截式方程； （2）若与直线垂直，求的一般式方程； （3）若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， （1）用向量，，表示与； （2）求证：平面； （3）求异面直线与夹角的余弦． 18. 直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为． （1）求点到平面的距离； （2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 19. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $