精品解析：广东省惠州市惠城区惠州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

高二年级上学期阶段测试数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量 ，则. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得. 故选C. 【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 4. 设直线：与圆：交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线：的距离， 所以. 5. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 7. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解. 【详解】A选项：若，当时，斜率分别为 令： 所以时也平行，A选项错误； B选项：若，斜率乘积为： ，B选项正确； C选项：当时，，， 代入，得，两直线相交，C选项正确； D选项：当时，，， 两直线平行且不重合，D选项错误. 10. 如图，在长方体中，，分别是，的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助长方体几何性质或空间直角坐标系，通过线线平行转化判断线面平行、异面直线夹角，结合解三角形与点到平面距离公式逐一验证命题. 【详解】对于A，因为在长方体中，， 所以是等腰三角形，，，其面积为，故A项错误； 对于B，，分别是，的中点，由长方体的性质知，， 又因为平面，⊂平面，所以平面，故B项正确； 对于C，因为，所以异面直线与所成的角为或的补角， ，故C项正确； 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，分别是，的中点， 所以点，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 又， 所以点到平面的距离为，故D项正确． 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 13. 已知三点，则过点A的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的倾斜角取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算直线 AB、AC 的边界斜率，数形结合确定斜率的取值范围，再结合正切函数的单调性与倾斜角的定义，补全斜率不存在的特殊情况，即可得到倾斜角的取值范围 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 结合图形可知， 当直线斜率存在时，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为， 设直线的倾斜角为，由，当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件； 综上，倾斜角的取值范围为. 14. 如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱柱建空间直角坐标系，借助 3 点时针垂直的条件确定底面边长与侧棱长的关系，求出 4 点对应两条时针方向向量，用向量夹角公式算出夹角正切值. 【详解】如图，在正四棱柱中，为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上， 为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上，则． 设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以点，，，. 设两条直线所成角为， 则，，， ，所以． 故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出、的坐标，再代入投影向量公式，其中数量积与模的平方要分别算出后再回代，注意所求是"投影向量"，最后必须乘回； （2）由共面向量定理设，把三个分量对应相等列成方程组，用前两个分量解出、，再代入第三个分量求出. 【小问1详解】 ，. 由，， 得在上的投影向量为. 【小问2详解】 ，因为在平面内， 所以存在实数、使. 即， 由前两个分量得，，解得，. 代入第三个分量得，故. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 【答案】（1）设O为的中点，连接， 由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，先证明平面，再得到. （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量法求出直线和平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 记直线和平面所成角为. 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线. （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1） 直线，可化为 故直线过定点. （2）S的最小值为16，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点； （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线过定点， 又直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点则， 令，得,所以， 令得所以， 所以 ， （当且仅当即时等号成立，） 此时直线的方程是即 18. 已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. （1）求； （2）若E为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）先用定义法求出、夹角，然后代入向量叉乘的计算公式即可. （2）建系法求出两个平面的法向量，代入到两个平面夹角的计算公式即可. （3）由向量叉乘的垂直性质推得同时垂直于、，设出点坐标与点的参数表达，利用向量垂直的坐标运算列方程组求解参数，再结合模长比例关系计算即可. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中，， 所以 【小问2详解】 因为平面且为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则， 令，得所以，因为 平面所以平面的法向量可取， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 依题意，，又， 所以， 设， 则，所以， 由，得， 所以， 由（1）知，又因，所以， 所以线段上存在点，使得，此时. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）的最大值：，的最小值：. （3）当时，为定值，当时，为定值 【解析】 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【小问1详解】 设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. 【小问2详解】 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. 【小问3详解】 设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期阶段测试数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设直线：与圆：交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 10. 如图，在长方体中，，分别是，的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 13. 已知三点，则过点A的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的倾斜角取值范围为__________. 14. 如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； 17. 已知直线. （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 18. 已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为是一个与都垂直的向量，且它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⟂底面为线段上一点. （1）求； （2）若E为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点M，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $