精品解析：河南开封市集英中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

开封市集英中学2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注：①考试时间100分钟，满分120分． ②所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． ③考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　　）. A. 1984前南斯拉夫 B. 1988加拿大 C. 2006意大利 D. 2022中国 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可. 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵中， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根的范围是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过代数式的正负变化确定方程根的区间． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 4. 已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两点坐标代入双曲线解析式，得到、关于的表达式，结合列不等式求解． 【详解】解：将，代入，得 ，， ， ， 两边同乘得 ， 移项得 ， 解得 ． 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 7. 如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与原点构成的三角形面积等于． 【详解】解：由于A、B均在反比例函数的图象上， 且轴，轴， ，, 故． 8. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A. 2cm B. 4 cm C. 2cm或4cm D. 2cm或4cm 【答案】C 【解析】 【详解】连接AC，AO， ∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中,AC=cm. 故选：C. 9. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向及抛物线与轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于轴的正半轴， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，则， ∴， ∵， ∴，即，故③错误； ∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线经过点，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得到，，求出，然后判断出第秒时点的坐标和第秒时点的坐标相同，进而求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，为等腰直角三角形，且， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转，， ∴秒循环一次， ∵， ∴第秒时点的坐标和第秒时点的坐标相同，如图， 由旋转得，，，， ∴点的坐标为，即第秒时点的坐标为． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点Q的坐标是． 故答案为：． 12. 在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ． ∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且． ∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径， ∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等． ∴ 外接圆半径为． 13. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 14. 一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是______________． 【答案】 【解析】 【分析】第一次降价后的价格为：，第二次降价后的价格为：，根据题意，即可列出一元二次方程． 【详解】解：依题意得：第一次降价后的价格为：，第二次降价后的价格为：， 即：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线开口向上，因此大于，越大抛物线开口越小，越小抛物线开口越大，因此抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值，由此可解． 【详解】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、， 点的坐标为． 抛物线开口向上， ， 当抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值． 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， ∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）将方程整理为一元二次方程一般形式，代入求根公式计算根． （2）通过变形构造公因式，采用因式分解法求解方程． 【小问1详解】 解：对， 移项整理得 ， ，，，   ， 方程有两个不相等的实数根，  ． 即， ． 【小问2详解】 解：，  ，  ，  ， 即 ， ∴． 解得，． 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 18. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） （2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）25元或43元；34元，512万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式和方程并熟练掌握二次函数的性质． （1）根据利润销售量（销售单价成本），代入代数式求出函数关系式； （2）令利润，求出x的值；将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：． 答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元． ， 当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 19. “行车规范要牢记，安全守护每一程”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 30 40 50 60 75 100 视野角度（度） 100 75 60 50 40 30 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（单位：度）与行车速度（单位：）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； 【小问3详解】 解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 20. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 【答案】（1）圆心如图所示，  ； （2）弓形的半径为 【解析】 【分析】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，即可求解； （2）根据垂径定理得出，，在中，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴弓形的半径为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出时的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和； （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形，，求面积即可； （3）先求出双曲线与直线的另一个交点，的解集即为直线在双曲线上方时，对应交点的横坐标，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：点在反比例函数 上， ， 点的坐标为，  轴，垂足在轴上， 点的坐标为， 直线与轴交点， 令，则，解得， 点的坐标为， ， 四边形的面积为． 【小问3详解】 解：联立与可得，， 解得或， ∴双曲线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴的解集为或． 22. 某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头距地面0.7m，水流在距喷水头水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中（m）是水流距喷水头的水平距离，（m）是水流距地面的高度． （1）求抛物线的函数解析式； （2）身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离； （3）水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不会，理由如下： 当时，， 解得：或（舍去）， ， 水流不会落到水池外． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式进行求解即可； （2）当时，求出的值即可； （3）当时，求出的值，再与进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ． 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， 她与喷水口的水平距离为或． 【小问3详解】 略 23. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封市集英中学2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注：①考试时间100分钟，满分120分． ②所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． ③考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　　）. A. 1984前南斯拉夫 B. 1988加拿大 C. 2006意大利 D. 2022中国 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根的范围是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 4. 已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 8. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A. 2cm B. 4 cm C. 2cm或4cm D. 2cm或4cm 9. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点，给出下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 13. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 14. 一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是______________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2） 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 18. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） （2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 19. “行车规范要牢记，安全守护每一程”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 30 40 50 60 75 100 视野角度（度） 100 75 60 50 40 30 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（单位：度）与行车速度（单位：）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 20. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出时的取值范围． 22. 某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头距地面0.7m，水流在距喷水头水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中（m）是水流距喷水头的水平距离，（m）是水流距地面的高度． （1）求抛物线的函数解析式； （2）身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离； （3）水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由． 23. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $