精品解析：河北省邯郸市第一中学（博雅班）2026-2027学年高一上学期9月份月考数学试卷

邯郸市第一中学 2026 级高一年级九月考试试卷（博雅数学） 考查范围：必修一第一章、第二章、第三章 3.1~3.2.1　　 一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，又，所以. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得命题，的否定为，，故C正确. 3. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 4. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 5. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 6. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个整数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先因式分解，再按 、、 讨论解集． 【解答】原不等式可化为 （）． 当 时，解集为 ． 其中恰有个整数 ，则 ，即 ，解得 ； 当 时，解集为 ，含无穷多个整数，不合题意； 当 时，原不等式为 ，解集为 ，也不合题意． 综上，的取值范围为. 7. 函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的． 【详解】对于①，函数，它在上满足，具有性质，但在上不是增函数，①不正确； 对于②，取，它在上满足，具有性质， 但，取，则 左边， 右边，此时左边，不满足性质的不等式，②不正确； 对于③，， 又在上的最大值为1，即，，故， 从而，所以，③正确； 对于④，， ，④正确． 故命题③④正确，即选项D正确. 8. 设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等价于两个函数同时不大于0，先由得，则需要在上的最小值不大于0，对二次函数的对称轴进行分类讨论即可求解． 【详解】等价于且， 由得， 记． 当时，在上递减，，得， 当时，， 解得或，与无公共部分， 当时，在上递增，，得， 综上，或． 二、多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 10. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，再令以及可得A错误，B正确；结合可求得，利用判别式法可求得其值域，可判断C正确，D错误． 【详解】对于A，令，得，因为，所以，A错误． 对于B，令，得， 因为，所以， 令，得，所以，B正确． 令，得， 所以，所以， 由可知，整理得． 当时，； 当时，，解得， 所以y的取值范围为， 故函数的最小值为，最大值为，C正确，D错误． 故选：BC 三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分．） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ，在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 四、解答题（共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合. （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为命题为存在量词命题且为真命题，故只需二次函数的最小值小于. （2）由可求出，再检验另一个根不在集合中． 【小问1详解】 因为命题为存在量词命题且为真命题，而，其最小值为 ． 故只需满足即可，所以 ． 【小问2详解】 因为 ，所以 ，代入得 ， 即 ，解得 或 ． 当 时，，， 此时 ，不合题意，舍去； 当 时，，， 此时 ，符合题意． 综上所述，． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与  轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. 【小问2详解】 ， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）证明：设， 则， 因为，， 所以，即在上单调递减， 又，，故值域为. 【解析】 【分析】（1）根据换元法计算求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域. 【小问1详解】 由，令，则， 则有，即； 【小问2详解】 略 18. 在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种设备最少台最多台，每生产台（，），月收入函数为：（单位：千万元），月成本函数为：（单位：千万元）． （1）求月收入函数的最小值，并求出此时的的值； （2）求成本函数的边际函数的最小值； （3）求每月企业利润的最大值． 【答案】（1）最小值为千万元，此时； （2）千万元； （3）千万元 【解析】 【分析】（1）方法一：逐项比较的函数值进而即可得到答案；方法二：用三元基本不等式求解即可； （2）写出并判断单调性； （3）利润，逐项比较的函数值进而即可得到答案． 【小问1详解】 方法一：由（，）， 又，，，， ，， ，， 所以月收入函数的最小值为千万元，此时． 方法二：由，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以月收入函数的最小值为千万元，此时． 【小问2详解】 （，）， 显然随的增大而减小， 所以时，取最小值，最小值为（千万元）． 【小问3详解】 （，）， 又，，，， ，，，， 所以每月利润的最大值为千万元． 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义解一元二次不等式即可； （2）先将条件转为不等式恒成立问题，再按二次项系数与判别式讨论即可求解； （3）先根据解绝对值不等式求出，再根据一元二次不等式的解法求出，进而利用区间相交非空的条件列不等式即可求解． 【小问1详解】 由，整理得，解得 ， 所以． 【小问2详解】 由即对任意成立， 整理得对任意成立． 当时，恒成立，符合； 当时，需，即，解得； 当时，抛物线开口向上，不可能恒小于，舍去． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 由； 又，整理得 ，即， 当时，，此时，要与有公共点， 只需，或，解得，或，故； 当时，，此时，与有公共点，符合； 当时，，，要与有公共点， 需 ，或，解得，或，故． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第一中学 2026 级高一年级九月考试试卷（博雅数学） 考查范围：必修一第一章、第二章、第三章 3.1~3.2.1　　 一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 5. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个整数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 8. 设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 10. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足，，且，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 函数的最大值为 三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分．） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合. （2）若，求实数的值. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 18. 在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种设备最少台最多台，每生产台（，），月收入函数为：（单位：千万元），月成本函数为：（单位：千万元）． （1）求月收入函数的最小值，并求出此时的的值； （2）求成本函数的边际函数的最小值； （3）求每月企业利润的最大值． 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $