精品解析：陕西省渭南市杜桥中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

渭南市杜桥中学高二第一学期期中考试 数学试卷 考试时长：120 分钟　　总分：150 分 命题人：王　燕　　审核人：郝金妮 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 2. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 、 B. ， C. ， D. ， 7. 已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 直线的方程为：，则（ ） A. 直线斜率必定存在 B. 直线恒过定点 C. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 D. 时直线的倾斜角为 10. 若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（ ） A. B. C. D. 11. 已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为， ，则下列结论正确的是（ ） A. △F1PF2的周长为16 B. C. 点到x轴的距离为 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 13. 点关于直线：的对称点的坐标为______. 14. 已知直线与抛物线交于两点，且为原点），则抛物线方程为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线l经过两直线：和：的交点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程. 16. （1）若圆经过点，，，求这个圆的方程. （2）求与圆：同圆心，且与直线相切的圆的方程. 17. 已知 ， 两点，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 18. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 19. 已知椭圆的长轴长为4，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市杜桥中学高二第一学期期中考试 数学试卷 考试时长：120 分钟　　总分：150 分 命题人：王　燕　　审核人：郝金妮 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆标准方程可得. 【详解】由,得,解得, 所以椭圆的长轴长为. 故选：D. 2. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解. 【详解】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意， 故选：B. 3. 已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】已知点，，则， 斜率，又直线l的倾斜角， 则直线l的倾斜角. 故选：A. 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得渐近线方程为，由题可知点在直线上，将点坐标代入方程可得的关系，从而可求出离心率 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 由题意可知点在直线上， 所以，即， 所以离心率为， 故选：B 5. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的直线的距离公式判断直线和圆的位置关系即可得到结论． 【详解】圆心O到直线的距离，即直线和圆相交， 则圆x2+y2＝16上的点到直线的距离的最大值为d+r＝. 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，先判断直线和圆的相交关系是解决本题的关键，属于基础题． 6. 已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 、 B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可. 【详解】圆，圆心，半径为， 令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值， ∴，解得， ∴的最大值为，最小值为． 故选：B 7. 已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故选：C 8. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，则，，借助余弦定理计算可用、表示出，即可得包含、的齐次式，再借助离心率定义计算即可得解. 【详解】不妨设该圆与渐近线分别交于、点， 则，故，则， 设，则， 则有， ， 即有，则有，即， 故，即， 即，即， 故有，即，故，即. 故选：B. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 直线的方程为：，则（ ） A. 直线斜率必定存在 B. 直线恒过定点 C. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 D. 时直线的倾斜角为 【答案】BC 【解析】 【分析】当时，斜率不存在，即可判断A，直接求出直线l恒过的定点，即可判断B，时，直线，求出在轴，轴上截距，进而可求出直线l与两坐标轴围成的三角形面积，即可判断C，时，直线斜率为，可得倾斜角，即可判断D. 【详解】当时，直线，此时斜率不存在，故A错误； 直线，即，直线l恒过定点，故B正确； 时，直线，在轴，轴上截距分别为，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确. 时，直线，此时斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：BC 10. 若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】考虑直线l的斜率不存在时，不合要求，当斜率存在时，设为，由点到直线距离列出不等式，求出，得到答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与无公共点，舍去， 当直线l的斜率存在时，设过点的直线l的方程为， 则圆的圆心到直线l的距离，解得. 故选：BD. 11. 已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为， ，则下列结论正确的是（ ） A. △F1PF2的周长为16 B. C. 点到x轴的距离为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以三角形的周长为，A选项正确， 设， 所以， 整理得， 所以，B选项正确， 设到轴的距离为，则，C选项正确， ，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 【答案】 【解析】 【详解】两直线平行需 且不重合，求解即可。 【解答】由 得 或 ． 当 时， 与 表示同一条直线，舍去； 当 时，，，两直线平行．故 ． 13. 点关于直线：的对称点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设Q的坐标，由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，可得点的坐标． 【详解】设是点关于直线：的对称点， 由题意可得，解得，，可得. 故答案为：. 14. 已知直线与抛物线交于两点，且为原点），则抛物线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示求解即得. 【详解】由消去x并整理得：，设， 则，显然， 由，得，即，解得， 所以抛物线方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线l经过两直线：和：的交点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解； （2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：联立方程组，解得交点， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 16. （1）若圆经过点，，，求这个圆的方程. （2）求与圆：同圆心，且与直线相切的圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设所求圆的方程为，然后将点的坐标代入求解. （2）由圆：求得圆心，再根据与直线相切求得半径即可. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为. （2）因为圆：的圆心为， 点到直线的距离为 ， ∴所求圆的方程为. 17. 已知 ， 两点，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设出点 ，根据两点间距离公式整理化简即可. （2）由弦长求出圆心到直线的距离，再列方程求解即可． 【小问1详解】 设 ，由，得 ， 化简得 ， 即轨迹 是圆心为原点、半径 的圆． 【小问2详解】 圆心到直线 的距离 ， 又 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 ． 18. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入点求解即可. （2）根据“点差法”求出斜率，结合直线的点斜式方程求解即可． 【小问1详解】 设 （）， 因为抛物线经过 ，代入得 ，， 所以抛物线方程为 ． 【小问2详解】 设 ，，则 ，， 两式相减得 ， 又 是 的中点，所以 ， 于是 ， 所以 ，即 ． 19. 已知椭圆的长轴长为4，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程； （2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值. 【详解】（1）解：由题意得 ， 又点在上，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设，的坐标为，，依题意得， 联立方程组消去，得. ，所以 ，， ， ∵，所以，则， 所以. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $