二次函数中的线段比值问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数中的线段比值问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 先在图中认清要比较的两条线段，再把图形关系写成坐标关系。 本专题按“坐标差→共线与平行→对称性→不同位置→比值范围”展开。每块知识配方法示意图、对应关系表、典例与相关变式。 一、竖直线段与水平线段 1 二、同一直线上的分点与坐标 4 三、射线与固定直线相交 6 四、平行线段与对应比例 9 五、利用对称性求线段比值 11 六、两条图像上的点与不同位置 14 七、不同方向线段的比值 16 A组 基础通关 19 B组 难点突破 22 C组 综合进阶 26 D组 中考真题精选 30 一、竖直线段与水平线段 先看目标线段是竖直还是水平，再看两个端点的坐标。竖直方向比较高低，用上面的纵坐标减去下面的纵坐标；水平方向比较左右，用右边的横坐标减去左边的横坐标。 左：同横坐标，比较高低；右：同纵坐标，比较左右。 图中位置 坐标有什么相同 线段长怎样写 左图：在上方 右图：在左方 位置不确定 先算坐标差，再取绝对值 竖直方向的高度常称为铅垂高，水平方向的宽度常称为水平宽。面积题中的铅垂法会同时用到这两个量；本专题只用它们表示线段长，再列长度比。 若在抛物线上、在直线上，且两点横坐标相同，就把同一个分别代入两个函数，求出两个纵坐标。若上下位置会变化，用绝对值，或按位置分别讨论。 比值的分母不能为即使计算中约掉了一个因式，原来使分母为的点也不能算入答案。 微例：所以整段与部分不是同一个比值。 例1、点在抛物线的第一象限部分上。过作轴的垂线，垂足为交直线于 （1）设的横坐标为求及其取值范围；（2）当时，求的坐标。 一种位置示意 【解析】（1）故范围为任取此范围内的都满足故范围内每个值都能取得。 （2）得所以 变式1-1、点在抛物线上，点满足求的坐标。 【解析】由知得符合范围，故 变式1-2、点在抛物线的第一象限部分上，是到轴的垂足， （1）求的取值范围；（2）求时的坐标。 一种位置示意 【解析】设故范围为 比值为时所以不能使用，因为原来的 变式1-3、点满足及求的坐标。 【解析】由分类。若则不合 若则取正根此时符合这里讨论的上下位置，故 二、同一直线上的分点与坐标 斜线段的长度不等于横坐标差，但同一条斜直线上的两段长度之比，可以用对应横坐标差之比来算。如图，过向轴作三条平行的垂线，垂足依次对应为由平行线分线段成比例，得到 左：点P在线段AB内部；右：点P在线段AB外部。垂足对应关系相同。 位置或条件 先写出的关系 再求长度比 依次排列 比较两部分 依次排列 依次排列 因此，共线、且直线不竖直时，若直线竖直，横坐标差都是应改用纵坐标差。长度变了，比例没有变，不能把斜线段直接当成横坐标差。 若在线段内部，且（，则对应的横坐标差、纵坐标差也各占整段坐标差的若在线段外部，先根据表中的关系写整段与部分的关系，再列式。 微例：在线段内且时，若在外侧且仍满足该比值，则得到 例2、直线与抛物线交于在左侧。点在线段上， 求的坐标。 【解析】由得或故 从向的横、纵坐标变化均为所以即在线段上，并不要求在抛物线上。 变式2-1、直线与抛物线交于点在直线上，求所有符合条件的的坐标。 【解析】内部时得 外部只能在的外侧，此时故从沿背离的方向走一个得在外侧不符。 变式2-2、已知点在直线上，若在抛物线上，求的所有可能值。 【解析】内部时由得 在外侧时所以由得外侧不满足给定比。 变式2-3、抛物线上有两点点在线段上且过作轴的平行线交抛物线于求的坐标及 【解析】故所以 三、射线与固定直线相交 在同一条以原点为端点的射线上，均不与重合。过两点分别向坐标轴作垂线，得到的直角三角形相似。因此，是的几倍，的两个坐标就是对应坐标的几倍。若射线与坐标轴重合，直接比较该轴上的距离，也得到同样结论。 图中Q在O、P之间；两组对应的水平、竖直线段都按同一倍数变化。 位置或条件 先写出的关系 再求长度比 依次排列 依次排列 设则且例如，射线与直线（交于唯一一点将上述坐标关系代入，得到所以换一条直线时，要代入新的表达式，不能照搬这个式子。 同一条射线上还要分清哪个点离原点更远。表中的两种位置合起来，就是若则在题目允许时也要计入。 微例：射线交于因为所以 例3、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于 （1）当时，求的坐标；（2）求的取值范围。 一种位置示意 【解析】设在同一条以为端点的射线上，两个坐标按相同倍数变化，而满足所以 （1）故或得到或 （2）时，比值在时，比值为范围为合并为时取到但不能取到在这一段，比值随增大从接近减到接近其中每个值都能取到。 变式3-1、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于若求的坐标。 【解析】设故解得或取得到 变式3-2、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足射线交直线于若求所有符合条件的的坐标。 【解析】故 或分别取正根，得或两类分别在内侧、外侧。 变式3-3、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，射线交直线于求的最大值及此时的坐标。 一种位置示意 【解析】设比值为在给定区间内，故最大值为此时 四、平行线段与对应比例 先从图中找平行线，再找对应的边。如图，在中，分别在线段内部，且由两个对应角相等，得到 DE∥BC，对应比较小三角形与大三角形的边。 题目给出的比 先认清整段 换成部分与整段的比 在线段内部， 对应边成比例，所以如果题目给的是一条边上两部分的比，要先把它变成“部分比整段”，再与其他对应边比较。 若交点在线段外侧，先判断哪一点在中间，再写整段等于两部分之和，不能直接套用内部点的关系。 微例：在内部且则这里不是 例4、抛物线与轴交于与轴交于点在第一象限内的抛物线上，直线交于 若求的坐标。 【解析】设直线为同一横坐标处，抛物线与直线的纵坐标差为所以在直线上方；而在直线下方。因此交点在线段内部。 由可得代入直线得到即 和都符合故或 变式4-1、抛物线与轴交于在第一象限内的抛物线上，过作交轴于过作交直线于若求的坐标。 【解析】设等高，都在轴上；由两段从上端到下端的横向变化相等，故 因此得符合范围，所以 变式4-2、已知点在抛物线上，线段交直线于且求的坐标。 【解析】由得代入直线得取正根 故所得按的取点，确在线段内部。 变式4-3、点在抛物线的第一象限部分上。过作与直线平行的直线，分别交轴、轴于若求的坐标。 【解析】设则截线为 两条线段共线，用横坐标差比较得得故 五、利用对称性求线段比值 同一水平线与抛物线有两个交点时，这两个点关于对称轴对称。对称轴把连接两点的水平线段平分，所以可以先算一半，再乘不必把左右两个交点分别完整求一遍。 如图，对水平线为对称轴交水平线于设则两个交点横坐标为并有 对称轴经过M，AM=MB；先求一半，再求整段。 两条抛物线 一半的长度满足什么式子 整条水平线段长 两条抛物线顶点相同、开口方向相同，且这条水平线与它们各有两个交点时，两段长度之比是固定的。由表中关系，所以两整段之比等于 这里讨论的是顶点相同的情况。如果两个顶点高度不同，就要分别代入水平线的高度计算，不能只比较二次项系数。水平线上还有坐标轴或其他交点时，先按从左到右排好各点，再写长度。 微例：与被（所截的线段长分别为所以长度比恒为 例5、水平直线（与抛物线交于（在左侧），与轴交于若求及的坐标。 【解析】由设则所以在之间。 得故 变式5-1、水平直线（分别截抛物线（得到线段已知 （1）求的取值范围；（2）当时，求 【解析】两条线段长分别为由比例得所以 （1）故得到反过来，任取该范围内都满足所以没有遗漏。 （2）得符合规定高度。 变式5-2、直线（与交于（在左侧），与交于（在左侧）。若求 【解析】令四点横坐标依次写为故 由得或所以或前一情形点序为后一情形点序为均满足条件。 变式5-3、水平直线（分别截抛物线和得到线段若求 【解析】两条线段长分别为平方得故符合 六、两条图像上的点与不同位置 设为坐标原点，均不与重合，且共线、（。先看两点在原点同一侧，还是原点夹在两点之间，再确定坐标倍数的正负。 同样是OQ=3OP：左图坐标乘3，右图坐标乘−3。 点的位置 横坐标关系 纵坐标关系 在同一侧 在之间 图中两种情况都满足但左图两个坐标乘右图两个坐标乘原因是同侧时向同一方向放大，异侧时还要把方向反过来；长度比本身仍是正数。 若固定点是而不是原点，先减去的坐标再比较。例如在同一侧且则不能直接把的坐标乘 把分别代入各自所在函数的表达式。求所有符合条件的点时，要检查范围、分母以及重复的点；同一个不能重复计数。若比例在一段横坐标范围内一直成立，列出的等式就要对这段范围内每个横坐标都成立。 微例：固定点若在射线上且则不是 例6、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点分别在抛物线上，三点共线，且求所有符合条件的的坐标。 【解析】设不可能为 若在的同一侧，则代入第二条抛物线得无实数解。 若在之间，则代入得所以或两种情况下，的两个坐标都是的倍，故确实在两点之间，且 变式6-1、已知在上，点在射线上且同时在抛物线上，求的坐标。 【解析】设故得所以 变式6-2、已知在抛物线上，直线与抛物线除外的交点为且 （1）当时，求的坐标；（2）设分别求恰有一个、两个符合条件的点时的取值范围。 一种位置示意 【解析】设直线为与第二条抛物线联立得故给 共线，用横坐标差比较长度，得（1）得或所以或 （2）时每个都得到这一区间内的一个点。时满足此范围当且仅当因此时恰有一个点，时恰有两个点。时，后一种情况得到不符合题设的 变式6-3、点满足：对每个在轴下方、在轴上方，且 （1）求（2）在均不为零的条件下，求使成立的全部 【解析】（1）对区间内每个成立。整理得若不是各项系数全为零，至多只有两个根，不可能在整段区间成立。故 （2）所以对应长度之比始终为只需排除两者都为零的故为除以外的所有实数。 七、不同方向线段的比值 两条线段不共线，也不能直接用平行或相似关系比较时，可以作与坐标轴平行的线段，把它们分别放进直角三角形中，用勾股定理求长度的平方。如图，在轴上，就分别在中列式。 两条斜线段共用PH；分别利用两个直角三角形。 目标线段或条件 列式 要点 先求长度的平方 再按给定比例列等式 长度比平方后也要平方 先平方列式，通常能避免根号运算。若（，应列不能只给长度乘一次比例。分母所对应的仍不能为若题目求的取值范围，还要检查是否允许；允许且时，比值可为若已给的固定比例，不满足该比例。 式子只含时，可设来简化计算。求出后还要求若且没有限制横坐标正负，取和若限定第一象限，则只取正值。 求比值范围时，可以先求平方后的范围，再取非负平方根。用配方或平方非负求出界限后，还要检查等号是否能取到，以及中间各值是否都有对应的点。 微例：由勾股定理，所以一般地，若题目给平方后应列不是 例7、已知点在抛物线上，且求的坐标。 【解析】设 整理得故或所以或此时原比例成立。 变式7-1、已知点在抛物线上。若求所有符合条件的的坐标。 【解析】设得故或两点到的距离均不为零。 变式7-2、已知点在抛物线上，且求的所有可能纵坐标及符合条件的点的个数。 【解析】设令由得 或两值均为正。每个对应两个点，共个。不会与重合，原比值有意义。 变式7-3、已知点在抛物线上。求的取值范围。 一种位置示意 【解析】设则分母所以比值的平方不小于在取 由知故比值的平方不大于在取 对任意令则方程的判别式两根的积为正，说明它们同号；两根的和为正，说明它们都为正数。因此有正数可对应到抛物线上的点。综上 A组 基础通关 A1、点在抛物线上，过作轴的垂线，垂足为交直线于等于（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 【解析】选B。所以 A2、直线与抛物线交于（在左侧）。点在线段上，则的坐标为____。 【解析】由得所以 A3、水平直线（分别截抛物线与（得到线段若则等于（  ）。 A． B． C． D． 【解析】选A。比值为故 A4、点在抛物线上，过作轴的垂线，垂足为交直线于若则所有符合条件的的坐标为____。 【解析】设分别得或故或均不为零。 A5、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，点在抛物线上。下列结论正确的是（  ）。 A．在同一条以为端点的射线上 B． C． D． 【解析】选C。的两个坐标都是相应坐标的倍，故在之间，所以 A6、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足若均在轴上方，则的取值范围为____，且为____，其中 一种位置示意 【解析】且合并得此时故时两点都落在轴上，且不符合题设。 A7、已知求使有意义且成立的全部 一种位置示意 【解析】当且仅当时分母不为零，且比值为故为除以外的所有实数。 A8、在平面直角坐标系中，为坐标原点。抛物线（上有点已知求及 【解析】得由勾股定理故不能把也当作纵坐标。 B组 难点突破 B1、点分别在相应函数图像上。若则等于（  ）。 A． B． C． D． 【解析】选B。故令原式变为 时无解；时得此时三点纵坐标分别为原比值成立。 B2、点在抛物线的第一象限部分上。过作轴的平行线，分别交于若则的所有可能坐标为____。 【解析】设分类解得或所以或 B3、水平直线（与抛物线交于（在左侧），与轴交于若则为（  ）。 A．只有 B．只有 C．只有 D．或 【解析】选D。设两交点横坐标为故得到或因此或 B4、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点在抛物线上。直线与轴交于且则所有符合条件的的坐标为____。 【解析】设时平行于轴，不合题意；时也不合题意。 当时在之间，三点共线，用纵坐标差比较长度，得故当时在之间，故 所以或 B5、直线与抛物线交于（在左侧），与轴交于若求及的坐标。 【解析】交点横坐标满足两根积为一负一正，所以在之间。 设由共线比例得代入两点，前式加后式的倍得故 所以 B6、抛物线与轴交于点在抛物线上且过作交直线于若求的坐标。 初始位置示意 【解析】设由得 由得即正根另一根为负，均不合范围。故无符合条件的点 B7、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，点在直线上。已知三点共线，则符合条件的点共有（  ）个。 A． B． C． D． 【解析】选C。直线不经过故也不可能满足共线且因此是的中点。 设则由得两个点均不为所以共有个。 B8、已知点在抛物线上，点在射线上且同时在直线上，求的坐标。 【解析】设 代入直线得所以取故 C组 综合进阶 C1、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于（允许重合）。的取值范围是（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 【解析】选C。设则 时比值在时比值为在取在取且从到连续取遍中间值。因此范围为 C2、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点分别在抛物线上，共线，且 （1）当时，求的坐标；（2）随的变化，分别求符合条件的不同点的个数。 一种位置示意 【解析】设它不会与重合。若在的同一侧，则代入得到若在之间，则得到 （1）时，第一种位置没有实数解；第二种位置给所以这三个点在同一条竖直线上，也符合题意。 （2）时，上面两个式子的右边均为正数，各能求出两个横坐标。但题目数的是不同的不是的组合，必须检查是否重复。 令得因此且时有个点；时，两种位置得到的都是只有个不同点。 时，第一种位置给第二种位置给两个非零横坐标，共个点。 时，只有第二种位置能求出个点；时有个点；时两个式子的右边均为负数，没有符合条件的点。 C3、点满足过作轴的垂线，垂足为交直线于设则恰有两个符合条件的点时的范围为（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 【解析】选A。所以时对应给一个点。 时每个都给一个点。因此两点恰在的左支落在被排除。 C4、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足点在抛物线（上。已知共线且则的取值范围为____。 一种位置示意 【解析】若在的同一侧，则代入抛物线，得由得到 若在之间，则代入得从而 还要确认这些都能使用。把两种情况的式子分别变为在各自的范围内，都能得到的正根。故属于或 C5、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点在抛物线的第一象限部分上。 （1）当时，求的横坐标范围；（2）在（1）的条件下，若求的最大值及此时的坐标。 一种位置示意 【解析】设令由勾股定理， （1）即所以由于且得到 （2）所以由得题目要求（1）的条件也成立，因此要同时满足和即 计算得因为这说明长度比为正，所以当时等号成立，而且在允许范围内。因此最大值为此时 C6、已知满足直线与抛物线除外的另一交点为且 （1）求的表达式和取值范围；（2）当时，求的坐标。 一种位置示意 【解析】直线为故保证且都在的右侧；给 （1）任取有但对应被排除。故范围为且 （2）当时，解方程只能得到不符合规定范围；时得所以 C7、水平直线（分别与抛物线交于和每组两点均按从左到右命名。 （1）当时，求（2）设分别求符合条件的有一个、两个时的取值范围。 一种位置示意 【解析】令则四点横坐标为所以 （1）得故 （2）时每个都对应一个时满足此区间当且仅当 因此时有两个时有一个每个正的只对应一个不会重复计数。 C8、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点射线交直线于 （1）求时的坐标；（2）设分别求符合条件的点为一个、两个时的取值范围。 一种位置示意 【解析】其中 （1）得或所以或 （2）在上，从严格增到在上，从严格减到因此或时有一个点；时有两个点。只对应一个点不能在两个区间中各数一次；其余没有对应的点。 D组 中考真题精选 D1、（2025年黑龙江省绥化市中考第28题（节选第（1）（2）问））综合与探究。如图，抛物线交轴于两点，交轴于点直线经过两点，若点点是抛物线上的一个动点（不与点重合）。 （1）求抛物线的函数解析式。 （2）过点作直线轴于点交直线于点当时，求点的坐标。 【解析】（1）可设由常数项得所以 （2）直线为设则且 由及可得 时时两点均符合题设，故所求点为或 D2、（2025年重庆市中考第24题（节选第（1）问及第（2）问中求点P坐标部分））如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴是直线 （1）求抛物线的表达式。 （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点点为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且连接当取得最大值时，求点的坐标。 一种位置示意 【解析】（1）由得代入得故抛物线为 （2）直线为设由在射线下方，得所以 由的纵坐标为负，且射线与的交点在线段内部。设的两个坐标分别是对应坐标的倍，因此所以 因此当时比值最大，代入得 D3、（2026年上海市中考第23题（节选第（2）问，保留完整定义））对于函数（，对称轴与轴交于点将点向右平移一个单位得到点使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”。 已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上。 【解析】在轴及直线上，所以按定义，的横坐标为又在直线上，故所以即 由直线表达式得三点共线，且相邻的横坐标差均为所以故 抛物线对称轴为可设代入得所以 当时，与的纵坐标相同，所以在抛物线上。 D4、（2026年四川省成都市中考第26题（节选第（1）（3）问））如图，抛物线与直线（交于两点，点在该抛物线上，且 （1）若求的值及点的坐标。 （3）若直线与直线相交于点且点在轴正半轴上，求点的坐标和的值。 【解析】（1）代入得所以联立与得所以 （3）设抛物线上各点的纵坐标均不小于若夹在之间，非水平直线上分居两侧的两点必有一点在轴下方，矛盾；水平线又不可能在上有两个纵坐标为的不同点。因此在的同一侧。同理也在的同一侧。 由得因为所以即分别为的中点。 设交点横坐标是的两根，所以且 由在抛物线上，得即同理相减后除以得故 把代入再与比较，得由得 D5、（2026年吉林省中考第22题（节选第（1）问和第（3）问②））如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数（的图象记为顶点为点将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到图象点的对应点为点图象与合起来得到的图象记为 （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （ （____，____） ____ （____，____） （3）如图②，点为上一点，横坐标为点为上一点，横坐标为点为上一点，横坐标为过点作轴的平行线点关于直线的对称点为点过点作轴的平行线图象上两点之间的部分（含两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为 ②当时，直接写出的值。 图②为一种位置示意 【解析】（1）为（； （3）②设则由知为故对称点的纵坐标为为 当时，最高、最低点纵坐标为所以无解。 当时，最高点纵坐标为最低点为所以由得结合本段范围得 当时，最高点为最低点为所以由得结合范围得 当时，最高点为最低点为所以由得结合范围得 综上，或或 D6、（2026年四川省南充市中考第10题）已知抛物线与过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为如果则的值为（  ）。 A．或 B．或 C．或 D．或 【解析】设因不与重合，故都在直线上，且要分它们在同一侧和不同侧两种情况。 若在的同一侧，则的两个坐标分别是对应坐标的倍，即代入得约去得到解得 若在之间，则代入得得到解得 两值均不等于两条曲线均为抛物线，也都能有题目所述的非原点交点。因此选A。 D7、（2026年江苏省苏州市中考第15题）如图，关于的二次函数的图象为抛物线直线与抛物线交于两点，过抛物线的顶点作轴的平行线过分别作的垂线，垂足为若四边形为正方形，则________。 【解析】把函数配方得所以顶点的纵坐标为直线为 设正方形边长为关于直线对称，所以的横坐标为纵坐标为 由竖边长得把代入抛物线，得所以由得故 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中的线段比值问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 先在图中认清要比较的两条线段，再把图形关系写成坐标关系。 本专题按“坐标差→共线与平行→对称性→不同位置→比值范围”展开。每块知识配方法示意图、对应关系表、典例与相关变式。 一、竖直线段与水平线段 2 二、同一直线上的分点与坐标 5 三、射线与固定直线相交 8 四、平行线段与对应比例 11 五、利用对称性求线段比值 14 六、两条图像上的点与不同位置 16 七、不同方向线段的比值 19 A组 基础通关 22 B组 难点突破 25 C组 综合进阶 27 D组 中考真题精选 31 一、竖直线段与水平线段 先看目标线段是竖直还是水平，再看两个端点的坐标。竖直方向比较高低，用上面的纵坐标减去下面的纵坐标；水平方向比较左右，用右边的横坐标减去左边的横坐标。 左：同横坐标，比较高低；右：同纵坐标，比较左右。 图中位置 坐标有什么相同 线段长怎样写 左图：在上方 右图：在左方 位置不确定 先算坐标差，再取绝对值 竖直方向的高度常称为铅垂高，水平方向的宽度常称为水平宽。面积题中的铅垂法会同时用到这两个量；本专题只用它们表示线段长，再列长度比。 若在抛物线上、在直线上，且两点横坐标相同，就把同一个分别代入两个函数，求出两个纵坐标。若上下位置会变化，用绝对值，或按位置分别讨论。 比值的分母不能为即使计算中约掉了一个因式，原来使分母为的点也不能算入答案。 微例：所以整段与部分不是同一个比值。 例1、点在抛物线的第一象限部分上。过作轴的垂线，垂足为交直线于 （1）设的横坐标为求及其取值范围；（2）当时，求的坐标。 一种位置示意 变式1-1、点在抛物线上，点满足求的坐标。 变式1-2、点在抛物线的第一象限部分上，是到轴的垂足， （1）求的取值范围；（2）求时的坐标。 一种位置示意 变式1-3、点满足及求的坐标。 二、同一直线上的分点与坐标 斜线段的长度不等于横坐标差，但同一条斜直线上的两段长度之比，可以用对应横坐标差之比来算。如图，过向轴作三条平行的垂线，垂足依次对应为由平行线分线段成比例，得到 左：点P在线段AB内部；右：点P在线段AB外部。垂足对应关系相同。 位置或条件 先写出的关系 再求长度比 依次排列 比较两部分 依次排列 依次排列 因此，共线、且直线不竖直时，若直线竖直，横坐标差都是应改用纵坐标差。长度变了，比例没有变，不能把斜线段直接当成横坐标差。 若在线段内部，且（，则对应的横坐标差、纵坐标差也各占整段坐标差的若在线段外部，先根据表中的关系写整段与部分的关系，再列式。 微例：在线段内且时，若在外侧且仍满足该比值，则得到 例2、直线与抛物线交于在左侧。点在线段上， 求的坐标。 变式2-1、直线与抛物线交于点在直线上，求所有符合条件的的坐标。 变式2-2、已知点在直线上，若在抛物线上，求的所有可能值。 变式2-3、抛物线上有两点点在线段上且过作轴的平行线交抛物线于求的坐标及 三、射线与固定直线相交 在同一条以原点为端点的射线上，均不与重合。过两点分别向坐标轴作垂线，得到的直角三角形相似。因此，是的几倍，的两个坐标就是对应坐标的几倍。若射线与坐标轴重合，直接比较该轴上的距离，也得到同样结论。 图中Q在O、P之间；两组对应的水平、竖直线段都按同一倍数变化。 位置或条件 先写出的关系 再求长度比 依次排列 依次排列 设则且例如，射线与直线（交于唯一一点将上述坐标关系代入，得到所以换一条直线时，要代入新的表达式，不能照搬这个式子。 同一条射线上还要分清哪个点离原点更远。表中的两种位置合起来，就是若则在题目允许时也要计入。 微例：射线交于因为所以 例3、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于 （1）当时，求的坐标；（2）求的取值范围。 一种位置示意 变式3-1、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于若求的坐标。 变式3-2、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足射线交直线于若求所有符合条件的的坐标。 变式3-3、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，射线交直线于求的最大值及此时的坐标。 一种位置示意 四、平行线段与对应比例 先从图中找平行线，再找对应的边。如图，在中，分别在线段内部，且由两个对应角相等，得到 DE∥BC，对应比较小三角形与大三角形的边。 题目给出的比 先认清整段 换成部分与整段的比 在线段内部， 对应边成比例，所以如果题目给的是一条边上两部分的比，要先把它变成“部分比整段”，再与其他对应边比较。 若交点在线段外侧，先判断哪一点在中间，再写整段等于两部分之和，不能直接套用内部点的关系。 微例：在内部且则这里不是 例4、抛物线与轴交于与轴交于点在第一象限内的抛物线上，直线交于 若求的坐标。 变式4-1、抛物线与轴交于在第一象限内的抛物线上，过作交轴于过作交直线于若求的坐标。 变式4-2、已知点在抛物线上，线段交直线于且求的坐标。 变式4-3、点在抛物线的第一象限部分上。过作与直线平行的直线，分别交轴、轴于若求的坐标。 五、利用对称性求线段比值 同一水平线与抛物线有两个交点时，这两个点关于对称轴对称。对称轴把连接两点的水平线段平分，所以可以先算一半，再乘不必把左右两个交点分别完整求一遍。 如图，对水平线为对称轴交水平线于设则两个交点横坐标为并有 对称轴经过M，AM=MB；先求一半，再求整段。 两条抛物线 一半的长度满足什么式子 整条水平线段长 两条抛物线顶点相同、开口方向相同，且这条水平线与它们各有两个交点时，两段长度之比是固定的。由表中关系，所以两整段之比等于 这里讨论的是顶点相同的情况。如果两个顶点高度不同，就要分别代入水平线的高度计算，不能只比较二次项系数。水平线上还有坐标轴或其他交点时，先按从左到右排好各点，再写长度。 微例：与被（所截的线段长分别为所以长度比恒为 例5、水平直线（与抛物线交于（在左侧），与轴交于若求及的坐标。 变式5-1、水平直线（分别截抛物线（得到线段已知 （1）求的取值范围；（2）当时，求 变式5-2、直线（与交于（在左侧），与交于（在左侧）。若求 变式5-3、水平直线（分别截抛物线和得到线段若求 六、两条图像上的点与不同位置 设为坐标原点，均不与重合，且共线、（。先看两点在原点同一侧，还是原点夹在两点之间，再确定坐标倍数的正负。 同样是OQ=3OP：左图坐标乘3，右图坐标乘−3。 点的位置 横坐标关系 纵坐标关系 在同一侧 在之间 图中两种情况都满足但左图两个坐标乘右图两个坐标乘原因是同侧时向同一方向放大，异侧时还要把方向反过来；长度比本身仍是正数。 若固定点是而不是原点，先减去的坐标再比较。例如在同一侧且则不能直接把的坐标乘 把分别代入各自所在函数的表达式。求所有符合条件的点时，要检查范围、分母以及重复的点；同一个不能重复计数。若比例在一段横坐标范围内一直成立，列出的等式就要对这段范围内每个横坐标都成立。 微例：固定点若在射线上且则不是 例6、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点分别在抛物线上，三点共线，且求所有符合条件的的坐标。 变式6-1、已知在上，点在射线上且同时在抛物线上，求的坐标。 变式6-2、已知在抛物线上，直线与抛物线除外的交点为且 （1）当时，求的坐标；（2）设分别求恰有一个、两个符合条件的点时的取值范围。 一种位置示意 变式6-3、点满足：对每个在轴下方、在轴上方，且 （1）求（2）在均不为零的条件下，求使成立的全部 七、不同方向线段的比值 两条线段不共线，也不能直接用平行或相似关系比较时，可以作与坐标轴平行的线段，把它们分别放进直角三角形中，用勾股定理求长度的平方。如图，在轴上，就分别在中列式。 两条斜线段共用PH；分别利用两个直角三角形。 目标线段或条件 列式 要点 先求长度的平方 再按给定比例列等式 长度比平方后也要平方 先平方列式，通常能避免根号运算。若（，应列不能只给长度乘一次比例。分母所对应的仍不能为若题目求的取值范围，还要检查是否允许；允许且时，比值可为若已给的固定比例，不满足该比例。 式子只含时，可设来简化计算。求出后还要求若且没有限制横坐标正负，取和若限定第一象限，则只取正值。 求比值范围时，可以先求平方后的范围，再取非负平方根。用配方或平方非负求出界限后，还要检查等号是否能取到，以及中间各值是否都有对应的点。 微例：由勾股定理，所以一般地，若题目给平方后应列不是 例7、已知点在抛物线上，且求的坐标。 变式7-1、已知点在抛物线上。若求所有符合条件的的坐标。 变式7-2、已知点在抛物线上，且求的所有可能纵坐标及符合条件的点的个数。 变式7-3、已知点在抛物线上。求的取值范围。 一种位置示意 A组 基础通关 A1、点在抛物线上，过作轴的垂线，垂足为交直线于等于（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 A2、直线与抛物线交于（在左侧）。点在线段上，则的坐标为____。 A3、水平直线（分别截抛物线与（得到线段若则等于（  ）。 A． B． C． D． A4、点在抛物线上，过作轴的垂线，垂足为交直线于若则所有符合条件的的坐标为____。 A5、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，点在抛物线上。下列结论正确的是（  ）。 A．在同一条以为端点的射线上 B． C． D． A6、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足若均在轴上方，则的取值范围为____，且为____，其中 一种位置示意 A7、已知求使有意义且成立的全部 一种位置示意 A8、在平面直角坐标系中，为坐标原点。抛物线（上有点已知求及 B组 难点突破 B1、点分别在相应函数图像上。若则等于（  ）。 A． B． C． D． B2、点在抛物线的第一象限部分上。过作轴的平行线，分别交于若则的所有可能坐标为____。 B3、水平直线（与抛物线交于（在左侧），与轴交于若则为（  ）。 A．只有 B．只有 C．只有 D．或 B4、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点在抛物线上。直线与轴交于且则所有符合条件的的坐标为____。 B5、直线与抛物线交于（在左侧），与轴交于若求及的坐标。 B6、抛物线与轴交于点在抛物线上且过作交直线于若求的坐标。 初始位置示意 B7、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线上，点在直线上。已知三点共线，则符合条件的点共有（  ）个。 A． B． C． D． B8、已知点在抛物线上，点在射线上且同时在直线上，求的坐标。 C组 综合进阶 C1、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点在抛物线的第一象限部分上，射线交直线于（允许重合）。的取值范围是（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 C2、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点分别在抛物线上，共线，且 （1）当时，求的坐标；（2）随的变化，分别求符合条件的不同点的个数。 一种位置示意 C3、点满足过作轴的垂线，垂足为交直线于设则恰有两个符合条件的点时的范围为（  ）。 A． B． C． D． 一种位置示意 C4、在平面直角坐标系中，为坐标原点。点满足点在抛物线（上。已知共线且则的取值范围为____。 一种位置示意 C5、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点在抛物线的第一象限部分上。 （1）当时，求的横坐标范围；（2）在（1）的条件下，若求的最大值及此时的坐标。 一种位置示意 C6、已知满足直线与抛物线除外的另一交点为且 （1）求的表达式和取值范围；（2）当时，求的坐标。 一种位置示意 C7、水平直线（分别与抛物线交于和每组两点均按从左到右命名。 （1）当时，求（2）设分别求符合条件的有一个、两个时的取值范围。 一种位置示意 C8、在平面直角坐标系中，为坐标原点。已知点射线交直线于 （1）求时的坐标；（2）设分别求符合条件的点为一个、两个时的取值范围。 一种位置示意 D组 中考真题精选 D1、（2025年黑龙江省绥化市中考第28题（节选第（1）（2）问））综合与探究。如图，抛物线交轴于两点，交轴于点直线经过两点，若点点是抛物线上的一个动点（不与点重合）。 （1）求抛物线的函数解析式。 （2）过点作直线轴于点交直线于点当时，求点的坐标。 D2、（2025年重庆市中考第24题（节选第（1）问及第（2）问中求点P坐标部分））如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴是直线 （1）求抛物线的表达式。 （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点点为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且连接当取得最大值时，求点的坐标。 一种位置示意 D3、（2026年上海市中考第23题（节选第（2）问，保留完整定义））对于函数（，对称轴与轴交于点将点向右平移一个单位得到点使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”。 已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上。 D4、（2026年四川省成都市中考第26题（节选第（1）（3）问））如图，抛物线与直线（交于两点，点在该抛物线上，且 （1）若求的值及点的坐标。 （3）若直线与直线相交于点且点在轴正半轴上，求点的坐标和的值。 D5、（2026年吉林省中考第22题（节选第（1）问和第（3）问②））如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数（的图象记为顶点为点将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到图象点的对应点为点图象与合起来得到的图象记为 （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （ （____，____） ____ （____，____） （3）如图②，点为上一点，横坐标为点为上一点，横坐标为点为上一点，横坐标为过点作轴的平行线点关于直线的对称点为点过点作轴的平行线图象上两点之间的部分（含两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为 ②当时，直接写出的值。 图②为一种位置示意 D6、（2026年四川省南充市中考第10题）已知抛物线与过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为如果则的值为（  ）。 A．或 B．或 C．或 D．或 D7、（2026年江苏省苏州市中考第15题）如图，关于的二次函数的图象为抛物线直线与抛物线交于两点，过抛物线的顶点作轴的平行线过分别作的垂线，垂足为若四边形为正方形，则________。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $